Aufgabe: Berechnen Sie $\left(x+3x^2+O(x^5)\right)^2$ !
Berechnung:
- Wir multiplizieren die Klammer aus und behandeln zunächst das $O(x)$-Symbol so, als wäre es eine Variable:
$$\left(x+3x^2+O(x^5)\right)^2=x^2+9x^4+O(x^5)^2+6x^3+2x\,O(x^5)+6x^2\,O(x^5)$$
- Nun bedenken wir, dass das Symbol $O(x^n)$ einen Ausdruck der Form $c\,x^n+\dots$ bezeichnet, wobei die Punkte
für höhere Ordnungen stehen (die ja für kleine $|x|$ schneller gegen $0$ gehen als $x^n$). Die einzelnen
Beiträge können von ihrer Ordnung her so charakterisiert werden
$$x^2+9x^4+\underbrace{O(x^5)^2}_{\Large O(x^{10})}+6x^3+\underbrace{2x\,O(x^5)}_{\Large O(x^6)}+
\underbrace{6x^2\,O(x^5)}_{\Large O(x^7)}$$
Die Ordnungen $O(x^7)$ und $O(x^{10})$ sind in $O(x^6)$ automatisch enthalten und können daher weggelassen werden.
Das Ergebnis lautet:
$$\left(x+3x^2+O(x^4)\right)^2=x^2+6x^3+9x^4+O(x^6)$$
Nachbemerkungen:
- Die soeben durchgeführten Schritte können mit ein bisschen Übung auch in einen einzigen
zusammengefasst werden. Der einfachste Weg besteht darin, zuerst die auftretenden Potenzen von $x$
durchzugehen und sich dabei um die Koeffizienten nicht zu kümmern. Damit erfassen Sie in den meisten Fällen
gleich zu Beginn der Rechnung die niedrigste unbekannte Ordnung.
Im obigen Beispiel kommt sie vom Produkt $x\,O(x^5)$, ist also durch $O(x^6)$ gegeben.
(Sehen Sie das?) Beim Ausmultiplizieren der Klammer lassen Sie dann einfach alle überflüssigen Terme weg.
- Auch wenn zwei unterschiedliche Ausdrücke miteinander multipliziert werden, wie etwa in
$$\left(1-2x+O(x^4)\right)\left(x+3x^2+O(x^3)\right)$$
können Sie die gleiche Methode anwenden. In diesem Fall kommt die niedrigste unbekannte Ordnung
vom Produkt $1\cdot O(x^3)$, ist also durch $O(x^3)$ gegeben. Wenn Sie das einmal wissen, müssen Sie zwei Terme,
deren Produkt von dritter oder höherer Ordnung ist, gar nicht mehr berücksichtigen.
Das Ergebnis lautet $x+x^2+O(x^3)$.
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