Mathematik 2
 

Allgemeine Bemerkungen

Viele wirtschaftswissenschaftliche Zusammenhänge werden mittels mathematischer Modelle analysiert. Sie lernen solche Modelle in verschiedenen Fächern der BWL und VWL kennen. Daher sollten Sie die Lehrveranstaltungen aus Mathematik und Statistik am Beginn Ihres Studiums absolvieren.

Studierende mit Defiziten in mathematischen Grundkompetenzen möchte ich auf den

Vorkurs Mathematik für StudienanfängerInnen mathematikintensiver Fächer aufmerksam machen, welcher von unserer Nachbarfakultät im Rahmen des Projekts Mathematik macht Freu(n)de von Prof.Eichmair angeboten wird.

Während des Semesters hält ein Studienassistent eine wöchentliche Sprechstunde ab, in der Sie Fragen zum Stoff der VO stellen können, siehe Informationen bei den aktuellen LV bzw. in Moodle.

Ziel

Die Vorlesung beschäftigt sich schwerpunktmäßig mit Optimierungsproblemen in den Wirtschaftswissenschaften. Dabei handelt es sich meist um Probleme, bei denen man mit gewissen Restriktionen (wie z.B. Ressourcenbeschränkungen) konfrontiert ist, d.h. um Optimierungsproblemen unter Nebenbedingungen. Dazu werden zunächst Grundlagen der Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Variablen und der Begriff der Konvexität behandelt und darauf aufbauend die mathematischen Grundlagen der Theorie der Optimierung ohne und mit Nebenbedingungen erarbeitet und ökonomische Anwendungen behandelt.

Zitat aus einem Uni-Ranking, das explizit und ausschließlich Praxiseinschätzungen aufnimmt und keinerlei Publikationserfolge berücksichtigt:

"Noch wichtiger als den Karrierewillen bewerten künftige Arbeitgeber bei Jungakademikern aber eine andere Fertigkeit: ausgeprägtes analytisches Denken. Und das lässt sich ja schon mit der richtigen Studienwahl überzeugend unter Beweis stellen."
(Format 24/12, Uni-Ranking, 2012)

Das sagen Studierende, die die VO Mathematik 2 im 2.Semester ihres BWL-Studiums absolviert haben:

"Für mich war die Mathe (1 und vor allem) 2 damals eine Art Türöffner in das Studium: Mathe 2 hat mir damals wesentliche Grundlagen an die Hand gegeben, sodass ich für Fächer wie Mikroökonomie (…zumindest bei mir war das damals im Wesentlichen MRS=MRT…) oder Unternehmensführung 2 (…oder auch die Financevertiefung…) kaum noch etwas lernen musste.

Mit dem Lagrange-Formalismus bekommt man weiters ein richtig nützliches Tool an die Hand, mit welchem man so ziemlich jedes Optimierungsproblem (sofern nichtlinear, natürlich) im Bachelor supereinfach lösen kann, da Ungleichheitsbedingungen so gut wie nicht vorkommen (und selbst wenn, so führen diverse wirtschaftliche Schlussfolgerungen in der Konsequenz dazu, dass die Nebenbedingungen effektiv bindend sein müssen => Lagrange).

Und mit dem Simplex-Algorithmus gibt’s auch (abhängig von der Prüfung natürlich) schonmal gerne bis zu 30% auf Kostenrechnung.
In anderen Fächern sind lineare Optimierungsprobleme allerdings aber meistens einfach mit wirtschaftlicher Argumentation zu lösen (~Theoriefragen), da sich die Lösung in den gestellten Aufgaben immer an den Randpunkten befindet.

Mathe 2 am Anfang zu absolvieren hat sich daher insofern für mich ausgezeichnet, da ich so zumindest bei analytischen Schritten an (fast) keinerlei Verständnisprobleme mehr gestoßen bin."


"Nachdem mein Abitur/Matura bereits 5 Jahre vergangen war, bevor ich die Mathe 1 Vorlesung besuchte, war ich anfangs hemmungslos überfordert.

Ist man allerdings bereit, die Zeit in Mathe 1 zu investieren und sich vor allem in der begleitenden Übung Mühe zu geben, fällt einem auch der Einstieg in den darauffolgende Mathe 2 Block bedeutend einfacher.

Nachdem ich diesen direkt im Anschluss, also im zweiten Semester, geschafft hatte, kann ich nur folgendes Fazit ziehen: Auch wenn die Vorlesung und die Übung mit einem relativ hohen Zeitaufwand verbunden sind, erhält man alles was man hierfür investiert doppelt und dreifach in allen anderen Vorlesungen zurück.

Egal ob Statistik, Mikro/Makroökonomie, ProLog oder Fiwi, die Grundlagen die in Mathe 1 vermittelt und in Mathe 2 vertieft werden machen den Rest des Studiums bedeutend einfacher.''

Organisation

Die 3-stündige Vorlesung Mathematik 2 (6 ECTS-Punkte) ist eine Pflichtveranstaltung in den Bachelorstudien BWL und IBWL (Curricula 2014).
Sie wird jeweils im SS angeboten.

Begleitend zur Vorlesung sind 2-stündige Übungen zu absolvieren. Die Übungen werden jedes Semester angeboten.
In der UE werden Beispiele zum Stoff, der in der VO präsentiert wurde, besprochen. Diese sind vorzubereiten und anzukreuzen und werden in der LV von den Studierenden präsentiert.
Da VO und UE eine Einheit bilden, wird empfohlen diese im selben Semester zu absolvieren.
Im WS sollte die UE nur dann belegt werden, wenn die VO schon im Semester davor besucht wurde.

Im WS wird ein Repetitorium zur Prüfungsvorbereitung angeboten.

Eine Anmeldung zur Vorlesung bzw. zum Repetitorium wird empfohlen, da Sie dann auch in der eLearning-Plattform angemeldet werden, wo weitere Materialien zur Verfügung gestellt werden. Die Anmeldung ist jeweils bis Ende Februar des darauffolgenden Jahres, in dem die VO abgehalten wurde, möglich.
Beachten Sie, dass der Zugriff zu den Unterlagen Moodle nach dem Prüfungstermin am Beginn des SS geschlossen wird. Wenn Sie die Prüfung noch nicht abgelegt haben, wird eine nochmalige Anmeldung zur Vorlesung empfohlen, um Zugriff auf die aktuellen Unterlagen in Moodle zu bekommen (die Unterlagen werden laufend erneuert).
Nachträgliche Anmeldungen in Moodle werden von uns nicht durchgeführt!

Voraussetzungen

Neben der StEOP werden VO+UE aus Mathematik 1 vorausgesetzt.
Die positive Absolvierung dieser Kurse ist Voraussetzung, um zu Prüfung aus Mathematik 2 anzutreten und um an der UE aus Mathematik 2 teilzunehmen.

Themen

  1. Einleitung: Optimierungsprobleme in den Wirtschaftswissenschaften
  2. Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Variablen
    (reellwertige Funktionen in mehreren Variablen, einige topologische Grundbegriffe, Differenzierbarkeit reellwertiger Funktionen: partielle Ableitungen, Ableitung einer reellwertigen Funktion in mehreren Variablen vektorwertige Funktionen, Differenzierbarkeit vektorwertiger Funktionen, Jacobi-Matrix, Kettenregel, Richtungsableitung, totales Differential, Gradient, zweite Ableitung einer Funktion in mehreren Variablen, Hesse-Matrix, zweite Richtungsableitung)
  3. Konvexität
    (konvexe Mengen, konvexe und konkave Funktionen in mehreren Variablen)
  4. Optimierung von Funktionen in mehreren Variablen
    (kritische Punkte, lokale Maxima und Minima, komparative Statik und das Envelope-Theorem)
  5. Optimierung mit Gleichungen als Nebenbedingungen: Die Methode von Lagrange
    (Bedingungen erster und zweiter Ordnung, Interpretation der Lagrange-Multiplikatoren, Bedingungen für globale Optima, Quasikonkavität und Quasikonvexität, Bemerkungen zur Substitutionsmethode, ökonomische Anwendungen der Methode von Lagrange)
  6. Nichtlineare Programmierung und die Kuhn-Tucker-Bedingungen
    (konvexe Programme, notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen, Sattelpunktbedingung)
  7. Lineare Programmierung
    (Modellformulierung, Modellannahmen, grafische Lösung, Basislösungen, Darstellung eines LP in Matrixschreibweise, Charakterisierung der Menge der zulässigen und optimalen Lösungen eines LP, die Simplexmethode, Simplexalgorithmus für spezielle Maximumprobleme, mehrdeutige Lösungen, Theorie des Simplexverfahrens, allgemeine Form eines LP, formaler Aufbau der Simplextableaus, Interpretation des Endtableaus, Dualität, komplementäre Schlupfbedingungen und Preistheorem, ökonomische Interpretation des dualen Problems, Interpretation einer Computerlösung)

Prüfungen zur Vorlesung

Prüfungen zur Vorlesung finden (auf Wunsch der Studierenden) in folgenden Prüfungswochen statt:
  • Ende SS
  • Anfang WS
  • Ende WS
  • Anfang SS
>> Prüfungstermine

Die Arbeitszeit bei der Prüfung beträgt 2 Stunden.

Für die Prüfungen ist eine Anmeldung via U:Space erforderlich.

Beachten Sie, dass ein Nichterscheinen ohne triftigen Grund ein Sperre vom darauffolgenden Prüfungstermin zur Folge hat!
Siehe hierzu auch §6 (5) des Satzungsteils "Studienrecht", erschienen im Mitteilungsblatt vom 03.12.2014.

Beachten Sie bitte auch, dass die Fristen zur An- und Abmeldung zur Prüfung unbedingt einzuhalten sind, da eine Planung der Prüfung für uns sonst nicht möglich ist. Es gibt keinerlei Möglichkeit einer Anmeldung zur Prüfung nach Ablauf der Anmeldefrist!!
Bei erfolgreicher Anmeldung erhalten Sie eine Bestätigungsmail. (Sollten Sie eine solche mail nicht erhalten, überprüfen Sie Ihre Anmeldung.)
Die Anmeldphase zur Prüfung beginnt 4 Wochen vor der Prüfung und endet 1 Woche davor.


Stoff der Prüfung sind die oben angegebenen Themen, insbes. wird der Stoff der zuletzt gehaltenen Vorlesung geprüft.
Siehe hierzu auch den zeitlichen Ablauf der zuletzt gehaltenen Vorlesung
(siehe Informationen zur Vorlesung auf meiner Homepage: LVen des aktuellen/vergangenen SS bzw. LV früherer Semester).

Folgende Kapiteln aus dem Skriptum A. Gaunersdorfer, Mathematik 2 - Optimierung in den Wirtschaftswissenschaften (ab Auflage Februar 2018) sind prüfungsrelevant:

  • Kap.2 Optimierungsprobleme in den Wirtschaftswissenschaften
  • Kap.3 Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Variablen (ausgenommen 3.5.5)
  • Kap.4.1 Definition und Eigenschaften konvexer Mengen
  • Kap.5 Konvexe und konkave Funktionen
  • Kap.6 Optimierung von Funktionen in mehreren Variablen
  • Kap.7 Inverse und implizite Funktionen
  • Kap.8 Optimierung mit Gleichheitsrestriktionen: die Methode von Lagrange
  • Kap.9 Nichtlineare Programmierung und die Kuhn-Tucker-Bedingungen (ausgenommen: 9.3-9.5, 9.7)
    Aus Abschnitt 9.6.: enleitende Bemerkungen, Sattelpunktbedingung, Beispiel: lineares Programm (siehe Verweis in Kap.10.7)
  • Kap.10 Lineare Programmierung
    Von Abschnitten 10.4 und 10.5.3 sind nur jene Aspekte relevant, auf die in anderen Abschnitten verwiesen wurde (von 10.5.3 die grafische Analyse).
  • Anhang A.4.2 Definitheit von Matrizen und Quadratische Formen
  • Anhang A.6 Funktionen in einer Variablen und Darstellung von Kurven im R2


Erlaubte Hilfsmittel:
Ab dem SS 2020 (d.h. ab dem Prüfungstermin im Juni 2020) ist es erlaubt, einen A4-Zettel mit selbst handschriftlich verfassten Notizen mitzunehmen. Dieser Zettel muss gemeinsam mit der Prüfung abgegeben werden.

Abgesehen davon sind keine weitere Unterlagen (wie z.B. eine Formelsammlung) erlaubt.

Ein Taschenrechner darf verwendet werden, wenn er folgende Kriterien erfüllt:

  • nicht programmierbar,
  • kann keine Funktionsplots erstellen,
  • kann keine Gleichungen lösen,
  • kann keine Matrizenoperationen,
  • kann nicht ableiten und/oder integrieren.
>> Liste erlaubter Taschenrechner

Während der Prüfung ist es nicht erlaubt, Handys, Smartwatches etc. in Reichweite zu haben.

Vorgehensweise bei Erschleichung von Leistungen

Literatur

  • A. Gaunersdorfer, Mathematik 2 - Optimierung in den Wirtschaftswissenschaften, August, Februar 2020.

  • J. Leydold, Mathematik für Ökonomen : Formale Grundlagen der Wirtschaftswissenschaften (3. Aufl.), Oldenbourg, München, 2010.
    eBook (Zugang mittels u:access)
  • J. Leydold, Mathematik für Ökonomen, WU Wien (online book)
  • A. C. Chiang, K. Wainwright, H. Nitsch, Mathematik für Ökonomen - Grundlagen, Methoden und Anwendungen, Verlag Franz Vahlen, München, 2011.
    eBook (Zugang mittels u:access)
  • A. C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.), McGraw-Hill, 1984, Part 6.
  • K. Binmore, J. Davies, Calculus: Concepts and Methods, Cambridge University Press, 2001.
  • K. Sydsæter, P. Hammond, Mathematik für Wirtschaftswissenschatler - Basiswissen mit Praxisbezug, Pearson Studium, München, 2004.
    eBook (Zugang mittels u:access)

  • D. Léonard and N.Van Long, Optimal control theory and static optimization in economics, Cambridge University Press, 1992, ch.1.
  • H. A. Taha, Operations Research: An Introduction (8th ed.), Pearson Prentic Hall, 2007.
  • W. L. Winston, Operations Reseach: Applications and Algorithms (4th ed.), Brooks/Cole, 2004.
  • M. S. Bazaraa, H. D. Sherali, C. M. Shetty, Nonlinear Programming: Theory and Algorithms (3rd ed.), Wiley-Interscience, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, 2006.
Weitere Literaturhinweise sind im Skriptum angegeben.

Wenn Sie das Umformen von Termen (insbes. Bruchtermen) und das Ableiten elementarer Funktionen üben möchten, empfehle ich die Kompetenzmaterialien der Initative "`Mathematik macht Freu(n)de"' unserer Nachbarfakultät: