T384 LOCATIF - Local Aspects of Time-Frequency analysis
 
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Abstract English

Time-frequency analysis aims at providing simultaneous information on a signal's time- and frequency content. In order to clarify this idea, time-frequency representations are often compared to a music-score, which, in fact, very efficiently conveys the information which frequency, or rather pitch, should sound at which instant. For the mathematical understanding, however, this comparison may be misleading, as the uncertainty principle, due to Heisenberg, does not permit an exact separation of signal components in the time-frequency domain. In the analysis of signals with Gabor frames, this fact leads to a trade-off between good time- and good frequency resolution. The first main topic of this project is the investigation of a new class of frames, denoted by "Quilted Gabor Frames (QGF)". By their construction, QGF allow for the adaptation of both the analysis window and the time- and frequency shift parameters to the properties of a signal or class of signals under consideration. One typical example would be given by the analysis of music signals, which often requires wide windows, implying good frequency resolution, in low frequency bands. On the other hand, in areas of the time-frequency domain, where the signal is dominated by rather percussive elements, which determine the rhythmical structure, short windows and dense time-sampling will lead to optimal results. By allowing for different Gabor frames locally in the time-frequency sense, QGF allow for analysis methods adapted to this kind of situation. As the structure of the Heisenberg group may no more be used in a global sense, completely new methods are necessary and will be developed in the course of the project, in order to achieve appropriate results. The second main topic of the project, indeed closely connected with the first one, is the investigation of families of time-frequency localization operators derived form the continuous time-frequency representation short-time Fourier transform. By means of these families of localization operators, a characterisation of certain Banach spaces, in particular the so called modulation spaces, will be given. This characterization, being an important result in itself, will also yield technical tools for the investigation of properties of QGF. Furthermore, a generalization of classical Gabor frames, which allows for more than just one analysis windows, will be studied (Multi-window Gabor frames). Here, the desired results aim for qualitative and quantitative statements on the replaceability of a given set of generating windows by a different, in its time-frequency characteristics similar one. Gabor-Multipliers are the discrete, i.e. sampled versions of the above-mentioned time-frequency localization operators. The analysis of two new models for generalization of classical Gabor-multipliers forms the fourth and last main topic of the proposed project. In generalization of the classical approach of modification of time-frequency coefficients by multiplication with a so called weight function, interaction between coefficients in different but close time-frequency points is included in the approximation of more general operators. An application example for these generalizations is the modelling of channel operators in wireless communication. The four main topics are connected by common ideas and technical tools as well as the motivation by concrete applications. The achieved results will therefore - partly with partners from the applied sciences - be realized in the context of the project and with a focus on real-life applications.

 

Abstract German

Die Grundidee der Zeit-Frequenz Analyse ist die simultane Erfassung von Zeit- und Frequenzinformation eines Signals. Um das Verständnis dieser Idee zu erleichtern, wird häufig das Bild und die Funktionsweise einer Notenschrift herangezogen, die die Information, welche Frequenz (Tonhöhe) zu welchem Zeitpunkt erklingen soll, sehr effizient weitergibt. Für das mathematische Verständnis ist dies allerdings ein trügerisches Bild, da die Heisenberg'sche Unschärferelation eine exakte Trennung von Signalkomponenten im Zeit-Frequenz-Bereich verbietet. Diese Tatsache führt in der Analyse von Signalen mithilfe von Gabor Frames zu der Situation, dass zwischen guter Zeit- und guter Frequenzauflösung entschieden werden muss, bzw. häufig ein Kompromiss gewählt wird. Im ersten thematischen Schwerpunkt dieses Projektes wird eine neue Klasse von Frames, genannt "Quilted Gabor Frames (QGF)" untersucht. QGF erlauben durch ihre Konstruktion die Anpassung sowohl des Analysefensters als auch der Zeit- und Frequenzshift Parameter an die Eigenschaften eines betrachteten Signals oder einer Signalklasse. Ein Beispiel wäre die Analyse von Musiksignalen, bei denen es in Bereichen mit tiefen Frequenzen, die gut aufgelöst werden sollen (etwa, um die harmonische Struktur zu verstehen) gut frequenzauflösender und daher breiter Fenster bedarf. Umgekehrt werden in Bereichen der Frequenzebene, in denen perkussive, die zeitliche Struktur charakterisierende Elemente vorherrschen, kurze Fenster und im Zeitbereich dichter gesetzte Samplingpunkte zu optimalen Ergebnissen führen. QGF erlauben dieser Art von Problemstellung angepasste Analysemethoden, indem verschiedene Gabor Frames lokal - im Zeit-Frequenz Sinne - zur Signalanalyse verwendet werden. Da in diesem Modell die Struktur der Heisenberggruppe nicht mehr global genützt werden kann, werden völlig neue Methoden benötigt, um entsprechende Resultate zu erzielen. Eng verbunden mit dieser Idee ist das zweite Hauptthema des Projektes, die Untersuchung von Familien von Zeit-Frequenz-Lokalisationsoperatoren, die von der kontinuierlichen Zeit-Frequenz-Darstellung Kurzzeit Fourier-Transformation abgeleitet sind. Die angestrebte Charakterisierung von verschiedenen Banachräumen mithilfe dieser Operatoren liefert auch wichtige technische Hilfsmittel zur Untersuchung der Eigenschaften der QGF. Weiters soll eine Verallgemeinerung von klassischen Gabor Frames untersucht werden, die mehr als ein Analysefenster in jedem Zeit-Frequenz Samplingpunkt erlaubt (Multi-window Gabor Frames). Hier geht es vor allem um qualitative und quantitative Resultate zur Austauschbarkeit eines Satzes von erzeugenden Fenstern durch einen anderen, in seiner Zeit-Frequenz-Charakteristik ähnlichen. Gabor-Multiplier sind diskrete, d.h. gesampelte Versionen der oben erwähnten Zeit-Frequenz-Lokalisationsoperatoren. Die Analyse zweier Modelle zur Verallgemeinerung von klassischen Gabor-Multipliern stellt den vierten Hauptpfeiler des vorliegenden Projektes dar. In Verallgemeinerung klassischer Gabor-Multiplier wird die Modifikation der Zeit-Frequenz Koeffizienten eines Signale nicht nur durch Multiplikation der einzelnen Koeffizienten, sondern auch durch Interaktion zwischen Koeffizienten in verschiedenen, aber nahen, Zeit-Frequenzpunkten erlaubt. Diese Verallgemeinerung findet Anwendung z.B. in der Modellierung von Kanal-Operatoren in der drahtlosen Kommunikation. Allen vier Eckpfeilern liegen gemeinsame Ideen und Techniken und die Motivation durch konkrete Anwendungen zugrunde. Die erzielten Resultate werden daher - teils mit Partnern aus angewandten Disziplinen - im Rahmen des Projektes auch in angewandten Bereichen umgesetzt werden.

 
 
 

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