Es sei z=x+y die Summe zweier statistisch unabhängiger, auf dem Intervall
[0,1) gleichverteilter Zufallsvariablen. Erzeuge eine Stichprobe
{z1,z2,¼,zn} und berechne Stichprobenmittelwert,
Varianz sowie ein Histogramm der Wahrscheinlichkeitsdichte von z.
Symmetrische Irrfahrt (Random Walk) in einer Dimension: Ein Random
Walker startet bei x0=0 und führt n Schritte der Länge
Dx=xi+1-xi=±1 aus. Bei jedem Schritt sei die
Wahrscheinlichkeit, nach links oder rechts zu gehen, jeweils 1/2. Führe
eine größere Anzahl von Random Walks durch und bestimme die
Wahrscheinlichkeitsverteilung, daß nach Ende der Irrfahrt der Random Walk
genau bei xn=0,±1,±2,¼,±n endet. Bestimme auch den im
quadratischen Mittel zurückgelegten Weg áxn2ñ.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Poisson-verteilte
Zufallsvariable x
P(x=k) = Pl(k) =
lk
k!
e-l
erfüllt die Beziehung
Pl(k+1) =
l
k+1
Pl(k), k=0,1,2,¼
Um nach der inversen Transformationsmethode eine Stichprobe aus dieser
Verteilung zu erzeugen, kann man daher so vorgehen, daß man eine im
Intervall [0,1) gleichverteilte Zufallszahl x würfelt und dann,
beginnend mit Pl(0)=e-l, die obige Rekursion so lange
iteriert, bis
Pl(k-1) £ x < Pl(k)
gilt, und schließlich x=k setzt. [Ist schon x < Pl(0), so wird
x=0 gesetzt.]
Erzeuge nach dieser Methode für den Fall l = 10 eine hinreichend
große Stichprobe und berechne daraus, Mittelwert, Varianz und ein
Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Benütze die Transformationsmethode, um eine Stichprobe aus der
Cauchy-Verteilung
f(x) =
1
p
1
1+x2
-¥ < x < ¥
zu erzeugen. Überprüfe die Implementation durch Vergleich des aus der
Stichprobe gewonnenen Histogramms mit der vorgegebenen Verteilung.
Es sei die (unnormierte) Wahrscheinlichkeitsdichte
f(x) = x(1-x)
auf dem Intervall [0,1] gegeben. Um nach der Rejection-Methode eine
Stichprobe aus dieser Verteilung zu erzeugen, sucht man eine obere Schranke
A, für die gilt f(x) £ A (hier also z.B. A=1/4). Man würfelt nun
Punktepaare (x,y) mit x=x und y=Ah (wo x und h
unabhängige gleichverteile Zufallsvariablen aus [0,1) sind) und verwirft
alle Punkte, für die y > f(x) ist. Die x-Koordinaten der verbleibenden
Punktepaare bilden eine Stichprobe aus f(x). Warum?
Erzeuge eine hinreichend große Stichprobe und verifziere an Hand des
Histogramms die Korrektheit der Methode.
Welche Transformation führt eine auf dem Intervall [0,1) gleichverteilte
Zufallsvariable t in eine Zufallsvariable x auf dem Intervall [-1,1)
über, deren Wahrscheinlichkeitsdichte durch
f(x) =
1
p
1
Ö
1-x2
gegeben ist?
Benütze diese Transformation, um eines oder mehrere der Integrale
Ik =
ó õ
1
-1
dx
Tk2(x)
Ö
1-x2
nach dem Muster
ó õ
dxf(x) g(x) »
1
n
n å i=1
g(xi)
mit Hilfe von Monte Carlo-Integration numerisch zu berechnen. Dabei sollen
die xi eine Stichprobe aus der Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) bilden,
während die übrigen Anteile des Integranden von Ik als zu mittelnde
Funktion g(x) interpretiert werden.
Diese Integrale treten als Normierungsfaktoren der Tschebyscheff-Polynome
T0(x)
=
1
T1(x)
=
x
T2(x)
=
2x2-1
T3(x)
=
4x3-3x
T4(x)
=
8x4-8x2+1
:
auf und haben die exakten Werte
Ik =
ì ï í
ï î
p
für
k=0
p
2
für
k=1,2,3,¼
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