Die Fourier-Transformation ist eines der wichtigsten Instrumente zur
Behandlung linearer Systeme, seien es gewöhnliche oder partielle
lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten,
Anwendungen in der Signalverarbeitung, Bildrekonstruktion oder
Computertomographie. Während für das Arbeiten mit formalen Methoden
entscheidend ist, daß durch Fourier-Transformation komplizierte
Operationen wie Differentiation, Integration oder Faltung in
einfachere wie Multiplikation und Division übergehen, kommt bei
numerischen Anwendungen noch dazu, daß es einen äußerst effizienten
Algorithmus zur praktischen Berechnung von Fourier-Transformierten
gibt, nämlich die sogenannte "schnelle" Fourier-Transformation
(Fast Fourier Transform, FFT).
Durch die Fourier-Transformation wird einem Satz von Ausgangsdaten ein
gleichwertiger Satz von transformierten Daten zugeordnet. Man nennt
dabei den Raum der Ausgangsdaten den Realraum, den Raum der
transformierten Daten aber den Fourier-Raum. Je nach der
Beschaffenheit der Daten unterscheidet man drei Arten der
Fourier-Transformation:
Diskrete Fourier-Transformation: Ausgangsdaten und Transformierte sind
jeweils endliche Folgen von Zahlenwerten
Fourier-Reihen: Ausgangsdaten sind Funktionen über einem endlichen
Intervall, Transformierte abzählbare Folgen von Zahlenwerten (bzw. umgekehrt, wenn man die Rollen von Real- und Fourier-Raum vertauscht)
Fourier-Integrale: Ausgangsdaten und Transformierte sind jeweils
Funktionen über der ganzen reellen Achse.
Wir wollen hier in erster Linie Fourier-Reihen, d.h. die Darstellung von
Funktionen auf einem endlichen Intervall durch trigonometrische Funktionen,
betrachten.
Fourier-Reihen
Definition
Es sei f(x) eine hinreichend glatte, komplexwertige Funktion über
dem Intervall [-L/2,L/2]. Dann läßt sich f(x) als Fourier-Reihe
f(x) =
¥ å n=-¥
cneiknx
darstellen, wobei die Fourier-Koeffizienten gegeben sind durch
cn =
1
L
ó õ
L/2
-L/2
dxe-iknxf(x)
und die Wellenzahlenkn durch
kn = nDk, n=0,±1,±2,¼
mit
Dk =
2p
L
Die Fourier-Transformierte von f(x) besteht bei Fourier-Reihen also
aus der Menge der Fourier-Koeffizienten {cn}. Die bei deren
Definition auftretenden Integrale können numerisch oder analytisch
berechnet werden.
Die obige Schreibweise ist üblich, wenn es sich bei x um eine
Ortsvariable handelt. Ist die unabhängige Variable die Zeit t, so
wird für die Länge des Grundintervalls T verwendet, und an die
Stelle der Wellenzahlen kn treten die diskreten Frequenzen
wn=nDw mit Dw = 2p/T.
Wenn f(x) im Intervall [-L/2,L/2] stetig ist und die Funktionswerte am
linken und rechten Rand des Intervalls übereinstimmen, dann konvergiert die
Fourier-Reihe punktweise gegen die ursprüngliche Funktion. Ist f(x)
stetig bis auf endlich viele Sprungstellen, so konvergiert an diesen
Sprungstellen die Fourier-Reihe gegen den Mittelwert aus linkem und rechtem
Grenzwert von f(x). Man kann Fourier-Reihen aber auch für allgemeinere
Funktionen definieren, wobei das Gleichheitszeichen in der Darstellung dann
in einem eingeschränkten Sinn gilt.
Die Wellenzahlen kn sind so beschaffen, daß die Funktionen
eiknx periodisch sind mit Periode L. Die Fourier-Reihe ist
dann als Summe periodischer Funktionen natürlich ebenfalls
periodisch. Wenn f(x) selbst schon periodisch war, dann gilt die
Darstellung durch die Fourier-Reihe auf der ganzen reellen Achse. Ist
f(x) nicht periodisch oder für x Ï [-L/2,L/2] gar nicht
erklärt, so definiert die Fourier-Reihe eine periodische Fortsetzung
von f(x) außerhalb des Grundintervalls.
Eigenschaften
Differentiation und Integration
Unter der Annahme, daß Differentiation und Summation vertauscht
werden dürfen, ergibt sich durch Differenzieren der Fourier-Reihe
f¢(x)
=
d
dx
¥ å n=-¥
cneiknx =
¥ å n=-¥
cn
d
dx
eiknx =
¥ å n=-¥
cnikneiknx
=
¥ å n=-¥
(ikncn) eiknx
Die Fourier-Koeffizienten der Ableitung einer Funktion erhält man
also, indem man die Fourier-Koeffizienten der ursprünglichen Funktion
mit ikn multipliziert. Mehrmaliges Differenzieren führt
entsprechend zu Multiplikation mit höheren Potenzen von ikn.
Man sagt daher, daß beim Übergang in den Fourier-Raum
Differentiation in Multiplikation (mit ikn) übergeht. Da
Differentiation und Integration zu einander inverse Operationen sind,
sollte analog der Integration im Realraum die Division (durch ikn) im
Fourier-Raum entsprechen. Die letztere Aussage gilt allerdings nur
für Funktionen mit c0=0. Tatsächlich ist aber eines der
wichtigsten Anwendungsgebiete der Fourier-Transformation die
"Integration" von Differentialgleichungen.
Reellwertige Funktionen
Ist f(x) eine reellwertige Funktion, so gilt
f(x) =
¥ å n=-¥
cneiknx = f*(x) =
¥ å n=-¥
c*ne-iknx
und, wenn man im letzten Ausdruck -n statt n als Summationsindex
verwendet und beachtet, daß k-n=-kn,
¥ å n=-¥
cneiknx =
¥ å n=-¥
c*-neiknx
Da die Funktionen {eiknx} linear unabhängig sind, müssen die
Koeffizienten der Reihen übereinstimmen. Es gilt also, wenn man nochmals
n durch -n ersetzt,
c*n = c-n
Es genügt demnach, z. B. die Fourier-Koeffizienten für n ³ 0 zu
kennen.
Für reellwertige Funktionen setzt man daher oft
cn =
an
2
- i
bn
2
(mit a-n=an und b-n=-bn) und schreibt die Fourier-Reihe in
der Form
f(x)
=
c0 +
¥ å n=1
[cneiknx+c-neik-nx] = c0 +
¥ å n=1
[cneiknx+c*ne-iknx]
=
a0
2
+
¥ å n=1
é ë
an
2
(eiknx+e-iknx)-i
bn
2
(eiknx-e-iknx)
ù û
also
f(x) =
a0
2
+
¥ å n=1
[ancos(knx)+bnsin(knx)]
(wegen c*0=c-0 ist b0=0). Für die Koeffizienten in dieser
Darstellung findet man
an
=
2
L
ó õ
L/2
-L/2
dx cos(knx) f(x)
bn
=
2
L
ó õ
L/2
-L/2
dx sin(knx) f(x)
Beispiele
Fourier-Analyse der Heaviside-Funktion
Um die Heaviside-Funktion (Stufenfunktion)
H(x) =
ì ï í
ï î
0
für
x < 0
1
für
x > 0
auf dem Intervall [-L/2,L/2] in eine Fourier-Reihe zu entwickeln,
betrachtet man statt H(x) besser die Funktion
f(x) = H(x) -
1
2
Da diese Funktion ungerade ist [d.h. f(-x)=-f(x)], dürfen in
der Reihenentwicklung von f(x) ebenfalls nur ungerade Funktionen,
nämlich Sinus-Terme, vorkommen. Die Fourier-Darstellung von f(x)
muß also die Form
f(x) =
¥ å n=1
bn sin(knx)
haben. Die Fourier-Koeffizienten berechnet man nach der allgemeinen
Formel zu
bn
=
2
L
ó õ
L/2
-L/2
dx sin(knx) f(x)
=
2
L
ì í
î
ó õ
0
-L/2
dx sin(knx)
æ è
-
1
2
ö ø
+
ó õ
L/2
0
dx sin(knx)
æ è
+
1
2
ö ø
ü ý
þ
=
2
L
ì í
î
æ è
-
1
2
ö ø
-cos(knx)
kn
ê ê
0
-L/2
+
æ è
1
2
ö ø
-cos(knx)
kn
ê ê
L/2
0
ü ý
þ
=
1
knL
{1-cos(-knL/2)-cos(knL/2)+1}
=
2
knL
{1-cos(knL/2)}
=
1-cos(np)
np
wobei in der letzten Gleichung noch berücksichtigt wurde, daß
kn=2pn/L. Da cos(np)=(-1)n, verschwinden die bn nur
für ungerade n nicht, und es gilt insgesamt
bn =
ì ï í
ï î
2
np
fürn=1,3,5¼
0
sonst
Die Fourier-Darstellung von H(x) ist daher
H(x) =
1
2
+
¥ å n=1,3,¼
2
np
sin
æ è
2npx
L
ö ø
Gibbs'sches Phänomen
Die Heaviside-Funktion ist, was die Berechnung der
Fourier-Koeffizienten betrifft, zwar eines der einfachsten Beispiele
für Fourier-Reihen, sie hat aber den Schönheitsfehler, daß sich
zwei Unstetigkeiten im Intervall befinden, nämlich die eigentliche
Sprungstelle bei x=0 und die Unstetigkeit, die dadurch zustande
kommt, daß die Funktionswerte bei x=±L/2 nicht übereinstimmen.
Man wird daher erwarten, daß die Fourier-Reihe für alle anderen Werte
von x punktweise gegen H(x) konvergiert, an den Sprungstellen
jedoch jeweils zum Mittelwert aus linkem und rechtem Grenzwert.
Wenn man, wie in der Praxis unvermeidlich, die Fourier-Reihe durch
eine Summe von endlich vielen Termen approximiert, beobachtet man
außerdem, daß beiderseits von Sprungstellen "gedämpfte
Oszillationen" auftreten, die zwar auf einen Bereich beschränkt
sind, der umso enger an die Sprungstelle heranrückt, je mehr Terme
man in der Summe berücksichtigt, die Maximalamplitude dieser
Oszillationen bleibt aber konstant. Diese Erscheinung, die man das
Gibbs'sche Phänomen nennt, tritt nicht nur bei der
Heaviside-Funktion, sondern auch bei anderen Funktionen mit
Sprungstellen auf.
Lösung der eindimensionalen Wellengleichung
Die Tatsache, daß Differentiation durch Fourier-Transformation in
Multiplikation übergeht, kann man dazu verwenden, lineare
Differentialgleichungen durch einen Fourier-Ansatz zu lösen, wenn
sich die Randbedingungen dafür eignen. Dies soll am Beispiel der
eindimensionalen Wellengleichung für die gezupfte Saite illustriert
werden.
Die eindimensionale Wellengleichung für die Auslenkung u(x,t) einer
bei x=0 und x=L eingespannten Saite ist
¶2u
¶t2
= c2
¶2u
¶x2
Dabei ist c die Phasengeschwindigkeit, und die Randbedingungen sind
u(0,t) = u(L,t) = 0 fürt ³ 0
Als Anfangsbedingungen für eine in der Mitte gezupfte Saite wählen
wir die Dreiecksfunktion mit Maximalamplitude A
u(x,0) = f(x) =
ì ï ï í
ï ï î
2Ax
L
für
0 < x < L/2
2A(L-x)
L
für
L/2 < x < L
und
¶u(x,t)
¶t
ê ê
t=0
= g(x) = 0
(d.h. die Saite ist zu Beginn in Ruhe).
Die Randbedingungen implementiert man am besten, indem man u(x,t)
nicht auf [0,L], sondern auf dem doppelten Intervall [-L,L]
betrachtet und u(x,t) für x < 0 ungerade fortsetzt. In diesem Fall
kann man nämlich, analog zum Beispiel der Heaviside-Funktion, die
Lösung für jeden festen Zeitpunkt t in eine Sinus-Reihe bezüglich
x entwickeln
u(x,t) =
¥ å n=1
bn(t) sin(knx)
wobei die kn wegen der doppelten Intervallgröße durch
kn =
2p
2L
n =
np
L
gegeben sind und die bn von der Zeit abhängen.
Wenn man diese Fourier-Reihe in die Differentialgleichung einsetzt und
gliedweise differenziert, erhält man
¥ å n=1
é ë
¶2
¶t2
bn(t)
ù û
sin(knx)
=
c2
¥ å n=1
bn(t)
é ë
¶2
¶x2
sin(knx)
ù û
=
¥ å n=1
[-kn2c2bn(t)]sin(knx)
bzw. durch Koeffizientenvergleich
d2bn(t)
dt2
= -kn2c2bn(t)
Die bn(t) gehorchen also einer gewöhnlichen Differentialgleichung
zweiter Ordnung, deren allgemeine Lösung
bn(t) = bn+eiknct + bn-e-iknct
ist. Die Koeffizienten bn+ und bn- bestimmt man aus
den Anfangsbedingungen für die Wellengleichung. Es ist nämlich
einerseits
bn(0)
=
bn+ + bn-
dbn(t)
dt
ê ê
t=0
=
iknc(bn+-bn-)
und andererseits
f(x)
=
¥ å n=1
bn(0) sin(knx)
g(x)
=
¥ å n=1
dbn(t)
dt
ê ê
t=0
sin(knx)
Da g(x)=0 angenommen wurde, verschwinden alle dbn(t)/dt bei
t=0, und es gilt
bn+ = bn- =
1
2
bn(0)
Die Zeitabhängigkeit der bn(t) ist daher gegeben durch
bn(t) = bn(0) cos(knct)
und die Lösung der partiellen Differentialgleichung läßt sich damit
schreiben als
u(x,t) =
¥ å n=1
bn(0) cos
æ è
npct
L
ö ø
sin
æ è
npx
L
ö ø
Für die Koeffizienten bn(0) findet man durch Fourier-Analyse der
(ungerade fortgesetzten) Anfangsbedingung u(x,0)=f(x)
bn(0) =
ì ï ï ï í
ï ï ï î
+
8A
(np)2
fürn=1,5,9,¼
-
8A
(np)2
fürn=3,7,11,¼
0
sonst
Elektrischer Schaltkreis mit periodischer Anregung
Das Verhalten linearer Systeme unter periodischer Anregung kann
ebenfalls mit Hilfe von Fourier-Reihen untersucht werden. Als
einfachstes Beispiel betrachten wir einen elektrischen Schaltkreis,
bestehend aus einer Induktivität L, einem Widerstand R und einer
Spannungsquelle U(t). Der Strom I(t) in diesem RL-Kreis gehorcht
der Differentialgleichung
L
dI
dt
+RI = U(t)
Wenn die angelegte Spannung periodisch in der Zeit (mit Periode T)
ist und etwaige Einschaltvorgänge so weit in der Vergangenheit
liegen, daß ihr Einfluß vernachlässigbar ist, dann wird auch der
Strom periodisch sein. Statt eine Anfangsbedingung vorzugeben, wird
also hier verlangt, daß I(t) periodisch sein soll. In diesem
Fall liegt es nahe, sowohl Strom als auch Spannung in Fourier-Reihen
zu entwickeln
U(t)
=
¥ å n=-¥
Uneiwnt
I(t)
=
¥ å n=-¥
Ineiwnt
wobei wn=2pn/T ist. Einsetzen in die Differentialgleichung
und Vertauschen von Differentiation und Summation liefert
¥ å n=-¥
(LIniwn) eiwnt +
¥ å n=-¥
(RIn) eiwnt =
¥ å n=-¥
Uneiwnt
Für die Koeffizienten muß also gelten
(iwnL+R) In = Un
Wegen der Ähnlichkeit dieser Beziehung mit dem Ohm'schen Gesetz
nennt man Z(w)=iwL+R den komplexen Widerstand (Impedanz)
des Schaltkreises. Die aus der letzten Gleichung berechneten In
können nun in die Fourier-Darstellung von I(t) eingesetzt werden.
Das Lösungsverfahren besteht also aus den Schritten:
Fourier-Analyse der Anregung [Berechnung der Fourier-Koeffizienten
Un von U(t)]
Lösung der Differentialgleichung im Fourier-Raum
In =
Un
iwnL+R
Fourier-Synthese der Lösung [Einsetzen der In in die Fourier-Reihe
für I(t)].
Für U(t) können beliebige periodische Signale vorgegeben werden,
die eine Fourier-Reihe besitzen.
Besteht U(t) z.B. aus positiven Halbwellen mit Maximalamplitude
Umax,
U(t) =
ì ï í
ï î
cos
æ è
2pt
T
ö ø
Umax
für -T/4 £ t £ T/4
0
sonst
(wobei als Grundintervall [-T/2,T/2] angenommen ist), so sind die Un
Un =
ì ï ï í
ï ï î
1
4
Umax
fürn=±1
-
cos(np/2)
(n2-1)p
Umax
sonst
Darstellung von Signalen mit endlicher Abtastrate
Es sei c(t) ein für alle Zeiten -¥ < t < ¥ definiertes, reell-
oder komplexwertiges Signal, z.B. der Wert einer Observablen eines
physikalischen Prozesses. Wenn c(t) absolut integrierbar ist, dann kann
man als Spektrum des Signals
f(w) =
1
2p
ó õ
¥
-¥
dte-iwtc(t)
definieren und daraus mit Hilfe des Fourier-Integrals (einer
Verallgemeinerung der Fourier-Reihe)
c(t) =
ó õ
¥
-¥
dw eiwtf(w)
das Signal wieder zurückgewinnen. (Bei welcher der beiden Gleichungen der
Faktor 1/2p angebracht wird, ist eine Frage der Konvention.)
Dies ist jedoch eine idealisierte Betrachtungsweise, denn in der Praxis
können Signale immer nur mit einer endlichen Abtastrate 1/Dt,
entsprechend einer endlichen zeitlichen Auflösung Dt, aufgezeichnet werden. Es existieren also
eigentlich nur Meßwerte cn=c(tn) zu diskreten Zeitpunkten
tn=nDt. In dieser Situation liegt es nahe, die Theorie der
Fourier-Reihen auf das Signal anzuwenden, wobei allerdings die Rollen von
Real- und Fourier-Raum vertauscht werden, d.h. die Koeffizienten cn
bilden jetzt die Originaldaten, während die Funktion f(w) die
Transformierte darstellt. Man kann daher ansetzen1
f(w)
=
1
W
¥ å n=-¥
cne-iwtn =
Dt
2p
¥ å n=-¥
cne-iwtn
cn
=
ó õ
W/2
-W/2
dw eiwtnf(w)
Dabei wurden gegenüber der zu Beginn des Kapitels gegebenen Definition der
Fourier-Reihen die Ersetzungen x ® w, kn ® tn,
Dk ® Dt und L=2p/Dk ® W = 2p/Dt
vorgenommen. Außerdem wurde der Normierungsfaktor 1/W (früher
1/L) an einer anderen Stelle angebracht; das hat den Vorteil, daß die
Formeln im Limes Dt®0, W®¥ in die des
Fourier-Integrals übergehen.
Bemerkenswert an diesen Ergebnissen ist, daß zur Darstellung der cn nur
Frequenzen bis zu einer Grenzfrequenz,
wmax =
W
2
=
p
Dt
der Nyquist-Frequenz, beitragen. Das mit Hilfe der Fourier-Reihe berechnete
Spektrum wird also nur dann einen sinnvollen Schätzwert für das "ideale"
Spektrum abgeben, wenn dieses für |w| > wmax
näherungsweise verschwindet, d.h. Band-limitiert ist. Da die
Nyquist-Frequenz invers porportional zu Dt ist, bedeutet das, daß
man im Realraum die Auflösung mindestens so
fein wählen muß, daß c(t) zwischen den Stützpunkten hinreichend glatt
ist, also durch die Diskretisierung keine Information verlorengeht.
Footnotes:
1Damit die
Darstellung von f(w) als Reihe konvergiert, müssen die cn für
n®±¥ hinreichend schnell verschwinden; das ist für eine Messung
endlicher Dauer, bei der nur endlich viele cn ¹ 0 sein können,
jedenfalls erfüllt.
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version 3.80. On 1 May 2008, 17:53.