Es seien die folgenden Funktionen auf dem Intervall [-1,1] gegeben
eine Funktion mit Sprungstellen
f1(x) =
ì ï í
ï î
-1
-1 < x < 0
1
0 < x < 1
eine Funktion mit Knickstellen
f2(x) =
ì ï í
ï î
1+2x
-1 £ x < 0
1-2x
0 £ x < 1
eine glatte Funktion
f3(x) =
ì ï í
ï î
4(x+x2)
-1 £ x < 0
4(x-x2)
0 £ x < 1
Die Funktionen sind so gewählt, daß (bis auf einen Faktor) f1 die
Ableitung von f2 ist und f2 die von f3. Die Fourier-Koeffizienten
von f2 und f3 lassen sich daher leicht aus denen von f1
(vgl. Heaviside-Funktion) berechnen. Wie viele Terme muß man in der
Fourier-Entwicklung von f1, f2 und f3 berücksichtigen, um jeweils
eine graphisch akzeptable Darstellung der Funktion zu erhalten?
Wenn die Fourier-Koeffizienten einer Funktion sich nicht analytisch
berechnen lassen, kann man die Integrale in
cn =
1
L
ó õ
L/2
-L/2
dxe-iknxf(x)
(bzw. an und bn bei reellwertigen Funktionen) immer noch numerisch
auswerten. Führe auf diese Weise die Fourier-Darstellung der Funktion
f(x) =
ì ï í
ï î
(1-x2)2e-x2
-1 £ x £ 1
0
sonst
auf dem Intervall [-2,2] durch.
Ist f(x) ein Funktion auf dem Intervall [-L/2,L/2] mit den
Fourier-Koeffizienten cn, so besagt das Translationstheorem, daß die
Fourier-Koeffizienten von f(x+a) durch eiknacn gegeben
sind. Warum? Wie lautet das Theorem für die Koeffizienten an und
bn einer reellwertigen Funktion? Wende das Theorem auf eine der
Funktionen aus den obigen Beispielen an und verifiziere das Ergebnis
graphisch durch Zeichnen der Fourier-Darstellung von f(x+a).
Betrachte die zeitabhängigen Signale c(t), die durch die Lösungen der
folgenden Differentialgleichungen gegeben sind
harmonischer Oszillator
××
x
= -w02x
mit w02=1 und Anfangsbedingungen x(0)=1, [(x)\dot](0)=0;
mathematisches Pendel
××
j
= -
g
l
sinj
mit g/l = 1 und Anfangsbedingungen j(0)=3p/4,
[(j)\dot](0)=0;
van der Pol Oszillator (alternativ zu b)
××
x
= m(1-x2)
×
x
-x
mit m = 5 und Anfangsbedingungen x(0)=0.01, [(x)\dot](0)=0.
Die Lösungen aller drei Systeme sind, nach einer eventuellen
Einschwingphase, strikt periodisch. Der nächstliegende Ansatz, die Spektren
dieser Prozesse zu berechnen, besteht also darin, die Lösungen über einem
geeigneten Grundintervall T in Fourier-Reihen zu entwickeln. Die dabei
auftretenden Fourier-Koeffizienten bilden dann ein Linienspektrum bei den
Frequenzen wn=2pn/T.
Altenativ dazu kann man die Periodizität auch ignorieren und die
numerischen Lösungen der Differentialgleichungen als allgemeine, diskret
abgetastete Signale, z.B. mit einer durch den (bei der numerischen
Integration verwendeten) Zeitschritt Dt gegebenen Abtastrate
1/Dt, ansehen. Wie sehen in diesem Fall die Spektren aus, wenn man
der Auswertung eine größere (ganze oder nicht-ganze) Zahl von Perioden der
Lösung zugrunde legt? Welches Problem ergibt sich bei der Normierung der
Spektren von periodischen, nicht-abklingenden Funktionen?
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