9 Vektoranalysis ("Nabla-Kalkül"): Gradient, Divergenz,
Laplace-Operator, Rotation

Mathematische Grundlagen für das Lehramtsstudium Physik

Franz Embacher, Universität Wien, 2008
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/grundlagen/

Rechnen mit Vektoren

Definition von Vektoren

v={-3,2,7}
w={1,4,2}

Linearkombinationen

v+w
3w-5w

Skalarprodukt

v.w

Betrag

Sqrt[v.v]

Kreuzprodukt

Cross[v,w]

Vektoranalysis in drei Dimensionen

Package VectorAnalysis laden

<<VectorAnalysis`

Erst nachdem dieser Befehl ausgeführt wurde, kennt Mathematica die Operationen Grad, Div, Laplacian, und Curl.

Definition eines Skalar- und eines Vektorfeldes

f=(1/((x^2)+(y^2)+(z^2)))
v={-(y^2),2x+z,-(z^2)}

Gradient

Grad[f,Cartesian[x,y,z]]

Grad[(1/((x1^2)+(x2^2)+(x3^2))),Cartesian[x1,x2,x3]]

Grad[(1/((Xx^2)+(Yy^2)+(Zz^2)))] (* mit dieser Koordinatenbezeichnung kann "Cartesian[...]" weggelassen werden *)

Divergenz

Div[v,Cartesian[x,y,z]]

Laplace-Operator

Laplacian[f,Cartesian[x,y,z]]
%//Simplify

Rotation

Curl[v,Cartesian[x,y,z]]

Vektoranalysis in zwei Dimensionen

Definition eines Skalar- und eines Vektorfeldes

f=(1/((x^2)+(y^2)))
v={(x^2)-(y^2),2x+y}

Gradient

{D[f,x],D[f,y]}

DIvergenz

div2[vektor_]:=D[vektor[[1]],x]+D[vektor[[2]],y] (* definiert div2[...] *)
div2[v]

Laplace-Operator

D[f,x,x]+D[f,y,y]
%//Simplify