5 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Mathematische Grundlagen für das Lehramtsstudium Physik

Franz Embacher, Universität Wien, 2008
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/grundlagen/

Richtungsfeld und Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung

Laden des Packages VectorfieldPlots

Führen Sie zuerst diese Anweisung aus, wenn Sie ein RIchtungsfeld plotten wollen!

<<VectorFieldPlots`

Plot des Richtungsfeldes

VectorFieldPlot[{1,-3y+x^2},{x,-4,4},{y,-2,2},PlotPoints->20]

Richtungsfeld, schöner formattiert, mit Achsen

Show[
Plot[0,{x,-5,5},PlotRange->{{-4.2,4.2},{-2.1,2.1}},AxesLabel->{x,y},Ticks->{{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4},{-2,-1,1,2}},TicksStyle->{{Red,FontSize->14,Thick},{Red,FontSize->14,Thick}},AxesStyle->{FontSize->18,FontSize->18}],
VectorFieldPlot[{1,-3y+x^2},{x,-4,4},{y,-2,2},PlotPoints->20],ImageSize->600
]

Graph der Lösung mit y(0)=1

y[x]/.DSolve[{y'[x]==-3y[x]+x^2,y[0]==1},y[x],x][[1]][[1]]//Expand (* die Lösung der DGL *)
gr2=Plot[%,{x,-4,4},PlotStyle->Red,PlotRange->{-2,2}] (* Plot des Graphen *)
Show[gr1,gr2,ImageSize->600]

Lösen einer Differentialgleichung, Anfangswertproblem

Lösen einer DIfferentialgleichung

DSolve[y''[x]+4y'[x]+13y[x]==0,y[x],x]
y[x]/.%[[1]]

Lösen eines Anfangswertproblems, Plot der Lösung

DSolve[{y''[x]+4y'[x]+13y[x]==0,y[0]==2,y'[0]==-3},y[x],x]
Plot[y[x]/.%,{x,-2,2},PlotRange->All]

Numerische Lösung eines Anfangswertproblems

Versuch, eine geschlossene Lösung zu finden

DSolve[{y''[x]+y[x]^2-x^2==0,y[0]==1,y'[0]==0},y[x],x]

Mathematica findet keine geschlossene Lösung der (nichtlinearen) Differentialgleichung y''(x)+((y(x))^2)-(x^2)=0 mit den Anfangsbedingungen y(0)=1 und y'(0)=0.

Numerische Lösung mit Plot

nloes=NDSolve[{y''[x]+y[x]^2-x^2==0,y[0]==1,y'[0]==0},y[x],{x,0,3}]
Plot[y[x]/.nloes,{x,0,3}]