Physik des Aufschaukelns


Franz Embacher

Fakultät für Physik der Universität Wien

 
Alle kennen es – die meisten lieben es: das Schaukeln, insbesondere das Aufschaukeln, höher und immer höher, ohne mit den Beinen den Boden zu berühren! Wie lässst sich das Aufschaukeln physikalisch erklären?

Es gibt im Wesentlichen zwei Methoden, der Schwingungsbewegung mit Hilfe von Körperberwegungen Energie zuzuführen.

Methode 1

Die erste Methode besteht darin, den Winkel, den der Körper mit der Schaukelstange einschließt, zu ändern, d.h. sich im Takt der Schwingungen abwechselnd vor- und zurückzulehnen. Ein klarer Fall für den Lagrangeformalismus! Wir betrachten folgendes vereinfachte Modell:

Schaukelmodell

Am Endpunkt $P$ der Schaukelstange ist eine weitere Stange befestigt, die den Körper der schaukelnden Person modelliert. An deren Endpunkten $A$ und $B$ sowie im Punkt $P$ sitzen Massen, die wir mit $m_A$, $m_B$ und $m_P$ bezeichnen. Alle Stangen, die hier vorkommen, nehmen wir als gewichtslos an. Der Winkel $\varphi$ ist eine dynamische Variable, die die Schaukelschwingung beschreibt. Vom Winkel $\alpha$ zwischen der Pendelstange $OP$ und dem Körper der schaukelnden Person (modelliert durch die Strecke $AB)$ nehmen wir an, dass letztere ihn nach Gutdünken verändern kann. Auf diese Weise kann Energie von ihren Muskeln in die Schaukelschwingung (oder zurück) gelangen. Der Einfachheit der nachfolgenden Berechnung zuliebe setzen wir $$m_A a=m_b b\,\,\sf{\small,}$$ was nichts anderes bedeutet, als dass der Massenmittelpunkt des Systems genau im Punkt $P$ liegt. Um uns genauer anzusehen, ob und wie das Aufschaukeln mit Hilfe einer Vorgabe des zeitlichen Verlaufs von $\alpha$ funktioniert, behandeln wir dieses Modell im Lagrangeformalismus.

Zuerst stellen wir die Lagrangefunktion auf. Sie ist gleich der Differenz $T-V$ aus kinetischer und potentieller Energie (das Nullniveau für letztere setzen wir bei $y=0$ an). Verändern sich $\varphi$ und $\alpha$ beliebig mit der Zeit, so sind diese beiden Energieformen mit $$M=m_A+m_B+m_P$$ und $$\Theta=m_A\,a^2+m_B\,b^2$$ durch $$T={M\over 2}L^2\dot{\varphi}^2+{\Theta\over 2}(\dot{\varphi}-\dot{\alpha})^2$$ und $$V=-g\,M\,L\,\cos\varphi$$ gegeben. (Sie können das jetzt nachrechnen oder mir einfach glauben!) Jetzt kommt der entscheidende Schritt: die Lagrangefunktion! Sie ist wie gesagt gleich $T-V$, aber wir müssen aufpassen, die Variablen korrekt zu identifizieren:
  • $\varphi$ ist eine dynamische Variable. Daher hängt die Lagrangefunktion von $\varphi$ und $\dot{\varphi}$ (als zwei voneinander unabhängigen Variablen) ab.
  • $\alpha\equiv\alpha(t)$ kann von der schaukelnden Person beliebig vorgegeben werden. Über diese Funktion (die wir zunächst noch nicht genauer konkretisieren) hängt die Lagrangefunktion zudem noch explizit von der Zeit $t$ ab.
Daher ist

$$L(\varphi,\dot{\varphi},t)={M\over 2}L^2\dot{\varphi}^2+{\Theta\over 2}\left(\dot{\varphi}-\dot{\alpha}(t)\right)^2 +g\,M\,L\,\cos\varphi\,\sf{\small.}$$  
$(1)$

Sehen Sie sich diesen Ausdruck genau an! Verstanden? Gut! Nun schnurrt der Formalismus wie von selbst ab: Die Bewegungsgleichung ist die Euler-Lagrange-Gleichung $${d\over dt}{\partial L\over\partial\dot{\varphi}}={\partial L\over\partial\varphi}\,\,\sf{\small.}$$ Nachdem wir die Ableitungen von $L$ nach $\dot{\varphi}$ und $\varphi$ gebildet haben, können wir $\dot{\varphi}$ als Zeitableitung von $\varphi$ betrachten, womit diese Gleichung zu einer Differentialgleichung für die Funktion $\varphi\equiv\varphi(t)$ wird. Für die Lagrangefunktion $(1)$ lautet sie, mit allen Zeitabhängigkeiten explizit angeschrieben:

$$(M\,L^2+\Theta)\,\ddot{\varphi}(t)=-g\,M\,L\,\sin\varphi(t)+\Theta\,\ddot{\alpha}(t)\,\sf{\small.}$$  
$(2)$

(Das rechnen Sie jetzt bitte nach!) Ist $\alpha(t)$ gegeben, so kann versucht werden, diese Differentialgleichung nach $\varphi(t)$ zu lösen. An ihrer Form erkennen wir, dass der $\ddot{\alpha}$-Term die Rolle einer zusätzlich wirkenden Kraft (genauer: eines Drehmoments) einnimmt. Wird $\alpha(t)$ geeignet gewählt, kann praktisch jede Schwingungsform $\varphi(t)$ erzielt werden. (Man muss dann ja nur den Spieß umdrehen, $\varphi(t)$ vorgeben und nach $\ddot{\alpha}(t)$ auflösen, um die Differentialgleichung zu erfüllen). Wir hätten es aber gern etwas realistischer. Dazu bemerken wir zunächst zweierlei:
  1. Wird $\alpha(t)$ so gewählt, dass zu jedem Zeitpunkt $\ddot{\alpha}(t)=\ddot{\varphi}(t)$ gilt, so reduziert sich die Bewegungsgleichung auf $$M\,L^2\,\ddot{\varphi}(t)=-g\,M\,L\,\sin\varphi(t)\,\,\sf{\small,}$$ was genau die Bewegungsgleichung eines (mathematischen) Pendel der Länge $L$ ist. Physikalisch bedeutet diese Bewegungsform, dass die Strecke $AB$, d.h. der Körper der schaukelnden Person, entweder ihre Orientierung im Raum beibehält (was der realistische Fall ist) oder gleichmäß rotiert.
     
  2. Wird $\alpha(t)={\rm const}$ gewählt, so reduziert sich die Bewegungsgleichung auf $$(M\,L^2+\Theta)\,\ddot{\varphi}(t)=-g\,M\,L\,\sin\varphi(t)\,\,\sf{\small,}$$ was genau die Bewegungsgleichung eines (mathematischen) Pendel der Länge $L+{\large{\Theta\over M\,L}}$ ist. Physikalisch bedeutet diese Bewegungsform, dass die schaukelnde Person ihren Winkel zur Pendelstange $OP$ konstant hält. Die Winkelbeschleunigung ist in diesem Fall kleiner als im ersten, d.h. die Schwingungsdauer wird größer sein.
Um nun das Aufschaukeln zu modellieren, wählen wir $\alpha(t)$ in $(2)$ so, dass der Term $\Theta\,\ddot{\alpha}(t)$ die Bewegung ständig anheizt. Dazu muss $\ddot{\alpha}(t)$ stets das gleiche Vorzeichen wie $\dot{\varphi}(t)$ haben. Ein einfacher Ansatz, der das leistet, ist $$\ddot{\alpha}(t)=\gamma\,\dot{\varphi}(t)$$ mit einer positiven Konstanten $\gamma$. Dementsprechend können wir

$$\dot{\alpha}(t)=\gamma\,\varphi(t)$$  
$(3)$

veranschlagen. Die Bewegungsgleichung lautet dann $$(M\,L^2+\Theta)\,\ddot{\varphi}(t)=-g\,M\,L\,\sin\varphi(t)+\gamma\,\Theta\,\dot{\varphi}(t)\,\sf{\small.}$$ Wäre $\gamma<0$, so würde der $\dot{\varphi}$-Term eine Reibung (die der Schwingung Energie entzieht) modellieren. Mit $\gamma>0$ beschreibt er hingegen einen Mechanismus, der Energie in die Schwingung pumpt. Da diese Differentialgleichung selbst mit $\gamma=0$ auf schwer verdauliche elliptische Integrale führt, betrachten wir nun die Näherung kleiner Auslenkungen, d.h. Schwingungen, für die $|\varphi(t)|<< 1$ gilt. Für kleine $|\varphi|$ ist $\sin\varphi\approx\varphi$, womit sich die Bewegungsgleichung zu

$$(M\,L^2+\Theta)\,\ddot{\varphi}(t)=-g\,M\,L\,\varphi(t)+\gamma\,\Theta\,\dot{\varphi}(t)$$  
$(4)$

vereinfacht. Das ist jetzt eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, deren Lösung mit einem Exponentialansatz leicht zu ermitteln ist. Wenn $ \gamma$ nicht allzu groß ist (überlegen Sie selbst, wo die Grenze dafür ist!), ist die Lösung eine Schwingung, deren Amplitude exponentiell anwächst: Mit $$\lambda={\gamma\,\Theta\over 2\,(M\,L^2+\Theta)}$$ und $$\omega={\sqrt{4\,g\,M\,L(M\,L^2+\Theta)-\gamma^2\Theta^2}\over 2\,(M\,L^2+\Theta)}$$ lautet (wie Sie bitte nachrechnen!) die allgemeine Lösung

$$\varphi(t)=C\,e^{\lambda\,t}\sin(\omega \,t+\delta)\,\sf{\small,}$$  
$(5)$

wobei $C$ und $\delta$ frei wählbare Konstanten sind. Beachten Sie, dass die Aktion der schaukelnden Person (die nun in Form des Parameters $\gamma$ einfließt) nicht nur die Rate $\lambda$ des Aufschaukelns, sondern auch die Kreisfrequenz $\omega$ und damit die Dauer einer Schwingung beeinflusst! Nach einiger Zeit ist $C\,e^{\lambda\,t}$ so stark angewachsen, dass die Näherung $|\varphi(t)|<<1$ nicht mehr gilt.

Überlegen Sie selbst, was Sie sich auf der Schaukel tun müssen, um dieser Methode so gut wie möglich nachzukommen!

Frage für Ambitionierte: Wenn Sie in der Lagrangefunktion $(1)$ gemäß unserem Ansatz $(3)$ für das Verhalten der schaukelnden Person $\dot{\alpha}(t)$ durch $\gamma\,\varphi$ ersetzen, so dass $\alpha$ in $L$ gar nicht mehr vorkommt, erhalten Sie eine andere Bewegungsgleichung, die eine andere Lösung besitzt als die hier erhaltene (und die nicht das Schaukeln, sondern eine andere physikalische Situation beschreibt). Warum?

Methode 2

Die zweite Methode besteht darin, den Massenmittelpunkt auf- und abwärts zu verlagern, also etwa abwechselnd auf der Schaukel zu stehen und in die Hocke zu gehen. Dazu betrachten folgendes vereinfachte Modell:

Schaukelmodell

Die Masse $m$ beim Punkt $P$ kann reibungsfrei die Schaukelstange entlang gleiten, wodurch die Länge $L$ variabel wird. Um die Möglichkeit einer Anhebung oder Absenkung des Massenmittelpunkts der schaukelnden Person zu modellieren, nehmen wir an, dass sie diese Länge nach Gutdünken verändern kann. Auf diese Weise kann Energie von ihren Muskeln in die Schaukelschwingung (oder zurück) gelangen. Wie bei der ersten Methode wenden wir den Lagrangeformalismus an.

Die kinetische und die potentielle Energie sind durch $$T={m\over 2}\left(L^2\,\dot{\varphi}^2+\dot{L}^2\right)$$ und $$V=-\,m\,g\,L\,\cos\varphi$$ gegeben. (Rechnen Sie bitte nach! Bei $T$ handelt sich im Wesentlichen um die Form der kinetischen Energie eines Teilchens in Polarkoordinaten). Wir behandeln $\varphi$ als dynamische Variable und nehmen an, dass $L\equiv L(t)$ von der schaukelnden Person frei vorgegeben wird. Die Lagrangefunktion lautet daher

$$L(\varphi,\dot{\varphi},t)={m\over 2}\left(L(t)^2\,\dot{\varphi}^2+\dot{L}(t)^2\right) +m\,g\,\,L(t)\,\cos\varphi\,\sf{\small,}$$  
$(6)$

die Bewegungsgleichung (Euler-Lagrange-Gleichung) lautet (nachdem auf beiden Seiten $m$ weggestrichen wurde)

$${d\over dt}\left(L(t)^2\,\dot{\varphi}(t)\right)=\,-g\,L(t)\,\sin\varphi(t)$$  
$(7a)$

oder, nach einer weiteren kleinen Umformung,

$$\ddot{\varphi}(t)=-{g\over L(t)}\,\sin\varphi(t)-2\,{\dot{L}(t)\over L(t)}\,\dot{\varphi}(t)\,\sf{\small.}$$  
$(7b)$

Für $L(t)={\rm const}$ geht $(7b)$ in die bekannte Gleichung für ein Pendel mit fixer Länge $L$ über. Hängt $L$ von $t$ ab, so bewirkt der letzte Term eine zusätzliche Kraft (genauer: eine Winkelbeschleunigung und daher ein Drehmoment). Allerdings wird dann auch der erste Term auf der rechten Seite, der das in Richtung Ruhelage wirkende Drehmoment repräsentiert, beeinflusst. Selbst in der Näherung $|\varphi(t)|<<1$, in der sich $(7b)$ zu

$$\ddot{\varphi}(t)=-{g\over L(t)}\,\varphi(t)-2\,{\dot{L}(t)\over L(t)}\,\dot{\varphi}(t)$$  
$(8)$

vereinfacht, ist diese Bewegungsgleichung schwieriger zu behandeln als jene von Methode 1. (Sie ist ebenfalls linear, aber nicht mehr mit konstanten Koeffizienten, wenn $L$ nicht konstant ist). Setzen wir in Analogie zur Behandlung der ersten Methode $L(t)$ so an, dass der Zusatzterm immer aufschaukelnd wirkt, muss $\dot{L}(t)/L(t)$ stets negativ sein, was zu einer anhaltenden Verkleinerung von $L$ führt. Soll $L(t)$ eine sinnvolle Auf- und Ab-Bewegung darstellen, so wird der Zusatzterm zeitweise auch bremsend wirken, so dass die Frage, ob das Aufschaukeln überwiegt, mathematisch delikater ist als bei der Bewegungsgleichung $(2)$.

Das Problem scheint also eher ein Fall für numerische Lösungsmethoden zu sein, wie sie heute jedes bessere CAS (wie Mathematica) durchführen kann. Wenn wir schon numerisch rechnen, müssen wir uns nicht auf die Näherung $\sin\varphi\approx\varphi$ beschränken, sonderen nehmen uns gleich $(7b)$ vor. Die Erdbescheunigung $g$ setzen wir gleich $1$. Als Anfangsbedingungen wählen wir $\varphi(0)=-\,0.1$ (moderate Anfangsauslenkung von $-\,5.7^\circ$) und $\dot{\varphi}(0)=0$ (d.h. die Schaukel wird von ihrer Anfangsposition einfach losgelassen). Nun lassen wir von einem CAS die Näherungslösung für zwei Fälle berechnen:
  • Fall $L(t)=1$. Das ist der Vergleichsfall, in dem die schaukelnde Person überhaupt nichts macht. Diese Lösung bezeichnen wir mit $\varphi_0(t)$. In der Näherung kleiner Auslenkung ist $\varphi_0(t)\approx-\,0.1\cos t$.
  • Um eine geeignete Auf- und Ab-Bewegung des Massenmittelpunkts zu finden, die zu einem effektiven Aufschaukeln führt, kann man nun ein bisschen probieren. Eine sehr effektive Methode ergibt sich mit $L(t)=1+0.1\sin(2\,t)$.
Das Ergebnis der numerischen Berechnung für Zeiten $0\leq t\leq 30$ sieht dann so aus:

numerische Lösung

Das Diagramm zeigt in rot die aufgeschaukelte Lösung $\varphi(t)$, in grün den Verlauf von $L(t)$, der sie bewirkt, und in blau die Vergleichslösung $\varphi_0(t)$ für den Fall $L(t)=1$. Sie zeigt eine Möglichkeit auf, wie die schaukelnde Person agieren kann. Beachten Sie, dass wir $L(t)$ hier periodisch mit Periode $\pi$ angesetzt haben. Das entspricht für nicht allzu große Zeiten der halben Schwingungsdauer des Pendels. Nach und nach wird diese Methode "außer Takt" kommen, da die aufgeschaukelten Schwingungen mit der Zeit immer länger dauern. Ab etwa $t\approx 50\approx 16\pi$ wirkt die angewandte Methode eher kontraproduktiv, also dämpfend, so dass sie dann der neuen Situation angepasst werden muss. Aber immerhin zeigt sie das Prinzip auf.

Überlegen Sie, wie Sie sich auf der Schaukel verhalten müssten, um diese Methode so gut wie möglich zu realisieren! In welchen Phasen findet eine Anhebung des Massenmittelpunkts statt, in welchen eine Absenkung? Versuchen Sie, physikalisch zu verstehen, warum der Ansatz mit Periode $\pi$ so erfolgreich ist! (Beachten Sie bei der Interpretation des Graphen von $L(t)$ in der Abbildung, dass eine Verkleinerung von $L$ einer Anhebung des Massenmittelpunkts entspricht und eine Vergrößerung von $L$ einer Absenkung des Massenmittelpunkts!) [Hier ein Tipp!]

Sie können selbst auch ganz leicht andere Ansätze für $L(t)$ probieren! Um den Graphen von $\varphi(t)$ zu zeichnen, führen Sie etwa in Mathematica den Befehlsblock
Lvorgabe[t_] = 1 + 0.1 Sin[2t];
tmax = 30;
dgl = L[t]^2 phi''[t] == -L[t] Sin[phi[t]] - 2 L[t] L'[t] phi'[t] /. L->Lvorgabe;
lsg = NDSolve[{dgl, phi[0] == -0.1,phi'[0] == 0},phi[t],{t,0,tmax}]
Plot[phi[t]/.lsg,{t,0,tmax}]
aus, wobei Sie die erste Zeile durch Ihre eigenen Versuche, $L(t)$ zu wählen, ersetzen. Sie können dabei auch versuchen $L(t)$ direkt an $\varphi(t)$ oder $\dot{\varphi}(t)$ zu koppeln, indem Sie beispielsweise  Lvorgabe[t_] = 1 + phi[t];  oder  Lvorgabe[t_] = 1 + phi'[t];  ansetzen. Interessanterweise führen derartige Versuche selten zum Ziel. Versuchen Sie zu erklären, warum!


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