Die Tonhöhe (Frequenz), mit der ein Schallsignal empfangen wird, hängt davon ab, ob und wie sich Sender und Empfänger relativ zum Ausbreitungsmedium (also beispielsweise zur Luft) bewegen. Dieser Effekt heißt nichtrelativistischer Dopplereffekt. Ein analoger Effekt wird auch für Lichtsignale erwartet und als relativistischer Dopplereffekt bezeichnet. Allerdings können die Formeln für den nichtrelativistischen Dopplereffekt in diesem Fall nicht angewandt werden, denn für Licht ist kein mechanisches Ausbreitungsmedium (Äther) identifizierbar - die Lichtgeschwindigkeit hat ja in jedem Inertialsystem denselben Wert. Daher kann auch nicht gesagt werden, wie schnell sich Sender und Empfänger relativ zu einem solchen Medium bewegen. Die Frequenz des empfangenen Signals kann lediglich
abhängen. Der Einfachheit
halber nehmen wir an, dass die relative Bewegung von Sender und Empfänger
in einer einzigen Raumdimension (voneinander weg oder aufeinander zu)
stattfindet. (Sender und Empfänger treffen einander also irgendwann
in ihrer Geschichte). In diesem Fall erwarten wir eine einzige
Formel für die Frequenzveränderung, im Gegensatz zum nichtrelativistischen
Fall, in dem üblichwerweise zumindest die beiden Fälle "Sender
ruht, Empfänger bewegt sich" und "Empfänger ruht,
Sender bewegt sich"
unterschieden werden.
Der relativistische Dopplereffekt ist im Grunde genommen ein raumzeitlicher (man könnte auch sagen: geometrischer) Effekt, für dessen Verständnis nicht auf die "physikalische Natur des Lichts" (die durch die Quantenelektrodynamik beschrieben wird) zurückgegriffen werden muss. Er tritt immer dann auf, wenn die zeitliche Information über einen periodischen Vorgang durch Lichtsignale übermittelt wird. Wir modellieren ihn wie im folgenden Raumzeit-Diagramm: Wir nehmen an,
dass der Sender punktförmig ist und wählen ein Inertialsystem,
in dessen räumlichen Ursprung er ruht. An seinem Ort findet ein
periodischer Prozess statt, der durch die blauen Punkte auf der Zeitachse
vertreten wird. (Man kann sich zum Beispiel das Ticken einer Uhr vorstellen).
Die Periodendauer in der Eigenzeit des Senders (d.h. im betrachteten
Inertialsystem) sei T
(wir können sie direkt an der Zeitachse ablesen). Diesem Prozess
können wir - wieder in seinem Ruhsystem
- die Frequenz Um T ' und f ' zu berechnen, nehmen wir einen Ausschnitt des vorigen Diagramms und verschieben die Weltlinie des Senders so, dass sie durch den Ursprung geht und das erste Sende-Ereignis mit dem ersten Empfangs-Ereignis zusammenfällt. (Das vereinfacht die Rechnung, ändert physikalisch aber nichts). Weiters sind in
diesem Diagramm die (Geraden-)Gleichungen der Weltlinien des Empfängers
und des eingezeichneten Signals angegeben. Um die Zeitkoordinate des
Schnitpunkts A
zu ermitteln, lösen wir die Gleichung
was nach einer weiteren Umformung
auf
führt. Zuletzt ersetzen wir
die Periodendauern durch die Frequenzen f
= 1/T und f '
= 1/T ' und erhalten mit
die Formel für
den relativistischen Dopplereffekt. In unserer Herleitung bewegen
sich Sender und Empfänger auseinander, und das obige Diagramm macht
nur für
Die Veränderung
der Periodendauer und damit der Frequenz eines Prozesses, dessen zeitliche
Information durch Lichtsignale übermittelt wird, ist ein universelles
Phänomen, dessen Details nicht von der physikalischen Natur
des Prozesses abhängen. Wie unsere auf Punktteilchen und (punktförmige)
Uhren beruhende Herleitung gezeigt hat, liegt sein Ursprung in den Eigenschaften
von Raum und Zeit begründet.
Zum Abschluss wollen wir noch ein paar Anwendungsbeispiele erwähnen:
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¬ Relativität der Geradlinigkeit | Übersicht | Relativistischer Impuls und dynamische Masse ® |