|
Effekte der Speziellen Relativitätstheorie Diese Seite vereinigt alle zur Animation http://www.ap.univie.ac.at/users/fe/Rel/Effekte/ gehörenden Texte, um bequemes Ausdrucken zu ermöglichen.
1. Einführung Diese Seiten zeigen, wie die wichtigsten Effekte der Speziellen Relativitätstheorie (Längenkontraktion, Zeitdilatation, Relativität der Gleichzeitigkeit) anhand eines einfachen Systems ohne großen Aufwand qualitativ verstanden oder auch quantitativ begründet werden können. Wir betrachten den links oben abgebildeten Prozess: Vier Photonen werden gleichzeitig vom Mittelpunkt eines Kreises aus in die vier Himmelsrichtungen geschickt, werden an der Kreislinie reflektiert und treffen - da sie sich gleich schnell (mit Lichtgeschwindigkeit) bewegen - gleichzeitig wieder im Mittelpunkt ein. In der Animation wird der Prozess periodisch wiederholt. Wichtig ist, dass die vier Photonen einander in einem einzigen Ereignis (zur selben Zeit am selben Ort) wieder treffen. Um zu verdeutlichen, dass sich die Photonen mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, kann auf Wunsch (per Button "Wellenfront") eine zu Beginn des Prozesses im Kreismittelpunkt ausgesandte und mit Lichtgeschwindigkeit wachsende Wellenfront eingeblendet werden. Bemerkung: Photonen sind die Teilchen, aus denen das Licht besteht. In der Animation sind sie durch kleine Kugeln dargestellt. Wir stellen sie uns am besten als Punktteilchen vor, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Mehr über sie müssen wir für die hier dargestellte Argumentation nicht wissen. 2. Galilei Denselben Prozess betrachten wir nun von einem (gleichförmig) bewegten Bezugssystem aus. Relativ zu diesem System bewegt sich die Kreislinie mit konstanter Geschwindigkeit, was in der Animation rechts oben dargestellt ist. (Die Geschwindigkeit ist hier etwa die Hälfte der - im Ruhsystem geltenden - Lichtgeschwindigkeit). Dies führt nach der Galileischen Physik zur Erwartung, dass die Geschwindigkeiten der Photonen, in diesem neuen System gemessen, voneinander verschieden sein können: Ihre konkreten Werte hängen von der jeweiligen Bewegungsrichtung (vorlaufend, rücklaufend, querlaufend) ab und sind auch von der im Ruhsystem geltenden Lichtgeschwindigkeit verschieden. Um dies zu verdeutlichen, kann auf Wunsch (per Button "Wellenfront") eine zu Beginn des Prozesses im Kreismittelpunkt ausgesandte Wellenfront eingeblendet werden, die sich mit der im Ruhsystem geltenden Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Man erkennt deutlich, dass sich drei der Photonen schneller und eines langsamer als das Licht im Ruhsystem bewegen. 3. c = const Der Ausgang des Experiments von Michelson und Morley konnte so gedeutet werden, dass die Lichtgeschwindigkeit immer denselben Wert hat, ganz gleich, in welchem Bezugssystem sie gemessen wird und in welche Richtung sich das Licht ausbreitet. Wenn das stimmt - wie sieht dann der ursprünglich betrachtete Prozess aus, wenn er vom bewegten System aus betrachtet und vermessen wird? Wenn sich alle vier Photonen mit derselben Geschwindigkeit (nämlich mit der im Ruhsystem geltenden Lichtgeschwindigkeit) bewegen (dies wird auf Wunsch - per Button "Wellenfront" - durch eine zu Beginn des Prozesses ausgesandte Wellenfront verdeutlicht), und wenn sonst nichts geändert wird, tritt zunächst ein Widerspruch auf. Die Animation rechts oben zeigt ihn: Die vier Photonen treffen nicht in einem einzigen Ereignis wieder aufeinander - daher kann der links oben in seinem Ruhsystem dargestellte Prozess nicht derselbe sein, den die Animation zeigt! Wie auch immer dieser Widerspruch zu lösen ist - wir müssen darauf vorbereitet sein, zumindest einige Grundsätze der Galileischen Physik aufzugeben. Beispielsweise erkennen wir, dass die Zeitspanne, die im bewegten System vergeht, während das (nun schräg) nach oben laufende Photon von seiner Emission bis zu seinen Umkehrpunkt gelangt (in der Animation dauert dieser Prozess 46 Zeiteinheiten), länger ist als die während desselben Prozesses im Ruhsystem gemessene (40 Zeiteinheiten). Etwas salopp ausgedrückt: Die Zeit vergeht offensichtlich für verschiedene Beobachter verschieden schnell - ansonsten wäre es nicht möglich, dass sich ein Photon in jedem Bezugssystem mit derselben Geschwindigkeit bewegt. An dieser Stelle kann der in der Animation gezeigte Sachverhalt quantitativ analysiert werden. Das ist gar nicht schwer. Mittels Anwendung einer einfachen geometrischen Betrachtung und Lösen einer einfachen "Fahrplanaufgabe" kann nachgerechnet werden, um wieviel später die in der Animation horizontal bewegten Photonen einander treffen als die quer dazu bewegten. (Hier ein paar Hinweise zur Berechnung). Antwort: die horizontal laufenden Photonen kommen (im ersten Zyklus) um einen Faktor ( 1 - v2/c2 )-1/2 "zu spät" an, wobei v die Relativgeschwindigkeit zwischen System und Beobachter (in der Animation: die Geschwindigkeit, mit der der Kreis durchs Bild wandert) ist. Dieser Faktor wird bei der quantitativen Analyse des nächsten Abschnitts ("Einstein") eine wichtige Rolle spielen. 4. Einstein Einsteins Lösung des Dilemmas war einfach und radikal: Längen in Bewegungsrichtung sind verkürzt, d.h. sie werden in einem bewegten Bezugssystem kürzer als im Ruhsystem gemessen. Der Verkürzungsfaktor ist gerade so groß, dass der Widerspruch, der aus der Annahme eines universellen Werts für die Lichtgeschwindigkeit und der Gültigkeit der Galileischen Physik entstanden ist, wieder verschwindet. Dieser Verkürzungs-Effekt (der seit seiner Postulierung durch Einstein vielfach experimentell überprüft wurde) heißt Längenkontraktion oder Lorentzkontraktion. Damit werden die Anschauungen von Raum und Zeit, wie sie die Galileische Physik kennt, aufgegeben. Die Animation rechts oben stellt nun dar, wie der betrachtete (links oben in seinem Ruhsystem dargestellte) Prozess gemäß Einsteins Postulat im bewegten Bezugssystem tatsächlich aussieht: Die vier Photonen treffen in regelmäßigen Zeitabständen genau aufeinander - der Widerspruch ist beseitigt! Weiters wird aus der Animation klar, dass die Zeitdauer zwischen Emission und Wieder-Zusammentreffen der vier Photonen keinen absoluten Wert hat: Sie hängt davon ab, ob sie im Ruhsystem oder im relativ dazu bewegten System gemessen wird. Die eingeblendeten Zeiten in der Animation zeigen an: Im Ruhsystem dauert ein Zyklus des Prozesses 80 Zeiteinheiten, im bewegten System dauert derselbe Zyklus 92 Einheiten. Dieser Effekt heißt Zeitdilatation. Schliesslich wird illustriert, dass Ereignisse, die in einem System gleichzeitig stattfinden (z.B. das Reflektiert-Werden der vier Photonen an der Kreislinie im Ruhsystem) in einem relativ dazu bewegten System nicht mehr gleichzeitig sein müssen (Relativität der Gleichzeitigkeit). Die eingeblendeten Zeiten in der Animation zeigen an: Während im Ruhsystem alle vier Photonen nach 40 Zeiteinheiten reflektiert werden, sind die entsprechenden Zeiten im bewegten System verschieden: Das rücklaufende Photon wird nach 23 Zeiteinheiten reflektiert, die beiden querlaufenden Photonen nach 46 Zeiteinheiten und das vorlaufende Photon nach 69 Zeiteinheiten. (Bei eingeblendeter Wellenfront sind diese Zeiten genauer abzulesen). Um diese Effekte quantitativ herzuleiten, wird als Verkürzungsfaktor für Längen in Bewegungsrichtung genau das Inverse des Faktors Die Linie, an der die Photonen reflektiert werden, ist im Ruhsystem ein Kreis und im bewegten System eine Ellipse. (Es handelt sich beidemale um dasselbe Objekt, nur in verschiedenen Bezugssystemen betrachtet). Die horizontale Achse eignet sich durchaus als Maßstab zur Messung von Längen in der relativen Bewegungsrichtung der beiden Bezugssysteme - man kann sie sich durchaus auch als materiellen Stab realisiert vorstellen. Dieser Maßstab ist also im Vergleich zu seiner Länge im Ruhsystem um den oben angegebenen Faktor kürzer, womit der Lehrsatz "Ein bewegter Maßstäb ist in Bewegungsrichtung um den Faktor Gleichfalls ist nicht schwer, das Ausmaß der Zeitdilatation quantitativ zu bestimmen. Der periodisch wiederholte Ablauf unseres Prozesses kann als Uhr verwendet werden: Jedesmal, wenn die vier Photonen genau aufeinander treffen, "tickt" sie. (Man spricht daher auch von einer Lichtuhr). So betrachtet, stellt die Animation rechts oben eine Uhr dar, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt. Wird ihre Periodendauer berechnet (wofür die Analyse der querlaufenden Photonen ausreicht) und mit der entsprechenden Periodendauer im Ruhsystem verglichen (siehe die Hinweise zur Berechnung), resultiert der Lehrsatz "Eine bewegte Uhr geht um den Faktor Die hier entwickelte Sichtweise impliziert ein Überdenken unserer Anschauungen von Raum und Zeit. Sie wird unter dem Namen Spezielle Relativitätstheorie zusammengefasst, und sie ist in dem Jahrhundert seit ihrer Formulierung durch Einstein im Jahr 1905 unzählige Male experimentell überprüft worden. Hinweise zur Berechnung
Sind alle Distanzen in Bewegungsrichtung um das Inverse des soeben ermittelten Faktors, d.h. um Didaktischer Hintergrund Die hier vorgeführte Argumentation zur Motivierung bzw. Herleitung der Zeitdilatation und der Lorentzkontraktion hat gegenüber vielen herkömmlichen Präsentationen den Vorteil, dass der für Lernende oft schwierige Begriff der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse in einem Bezugssystem (Inertialsystem) nicht vorausgesetzt wird. Der betrachtete Prozess (in seinem Ruhsystem links oben dargestellt) kommt ohne derartige Konstruktionen aus: Er hat ein eindeutiges Ereignis als Beginn (Emission von vier Photonen) und ein eindeutiges Ereignis als Ende (Wieder-Zusammentreffen der vier Photonen). Das Relativitätsprinzip ("Gleichberechtigung aller Inertialsysteme") wird nicht explizit in der Argumentation verwendet, lediglich die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Systemen wird ab dem dritten Abschnitt ("c = const") postuliert. Das Modell erlaubt ein qualitatives, von Berechnungen unabhängiges Verständnis dafür, dass die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit die besprochenen Effekte nahelegt, und es gibt ein Gefühl für deren Größenordnung. Der betrachtete Prozess wird
Die Notwendigkeit des Verkürzungs-Postulats sowie das Auftreten weiterer Effekte (Zeitdilatation und Relativität der Gleichzeitigkeit) sind unmittelbar - und, falls gewünscht, ohne jegliche quantitative Berechnung - einsichtig und logisch nachvollziehbar, können also tatsächlich verstanden werden (entgegen der verbreiteten Meinung, die Relativitätstheorie könne nicht oder nur von hochkarätigen Spezialisten verstanden werden). Die Problematik, die ein universeller Wert der Lichtgeschwindigkeit nach sich zieht, und Einsteins radikaler Lösungsansatz liegen hier offen zu Tage. Die Zeitdilatation und die Relativität der Gleichzeitigkeit können im Prinzip bereits im Abschnitt "c = const" erkannt und besprochen werden (wobei allerdings beachtet werden sollte, dass diese Animation die Verhältnisse im bewegten System hinsichtlich der horizontal laufenden Photonen noch nicht korrekt wiedergibt). Die Animation eignet sich sowohl zur Verwendung durch Lernende selbst, als auch als Präsentation durch Lehrende. Die Bedienungselemente (Buttons) erlauben, die Animation an beliebigen Stellen anzuhalten, in kleinen Zeitschritten auszuführen und von Beginn an wieder zu starten, um die gezeigten Abläufe genauer verfolgen und besprechen zu können. Die Buttons "Langsamer" und "Schneller" betreffen nur den Ablauf der Animation. Die Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme (c/2) bleibt davon unberührt. Um die auftretenden Photonengeschwindigkeiten deutlicher zu erkennen, kann auf Wunsch (Button "Wellenfront") eine Wellenfront eingeblendet werden, die im ersten Emissionsereignis ausgesandt wird, sich mit der im Ruhsystem geltenden Lichtgeschwindigkeit ausbreitet und in beiden Systemen gezeigt wird. Zusätzlich werden die Mittelpunkte der Wellenfront in beiden Systemen festgehalten und angezeigt - diese Punkte entsprechen einander nicht physikalisch und sind daher in verschiedenen Farben dargestellt. Auch die Wellenfronten selbst sind nur in jenen Fällen in der gleichen Farbe dargestellt, in denen sie einander physikalisch entsprechen. Um zu quantitativen Aussagen zu gelangen, sind einige kleine Rechnungen durchzuführen, die von der Logik her eine einfache geometrische Betrachtung und die Lösung einer konventionallen "Fahrplanaufgabe" erfordern - sie sind daher nicht mit theoretischen Überlegungen zur Messvorschrift für die vorkommenden Längen und Zeiten belastet (wie es häufig in Herleitungen dieser Effekte der Fall ist), können auch gänzlich ohne Bezug zur Relativitätstheorie gestellt werden und sollten für SchülerInnen der 7. oder 8. Klasse keine unüberwindliche Schwierigkeit darstellen. In gewisser Weise reduziert sich die Herleitung der für die Spezielle Relativitätstheorie relevanten Formeln darauf, eine wohldefinierte - und vom physikalischen Gehalt her bereits verstandene - Animation quantitativ nachzurechnen und kann (nachdem die Logik der Argumentation qualitativ besprochen wurde) unter Umständen sogar den Lernenden in eigenständiger Arbeit überlassen werden. (Dafür stehen einige Hinweise zur Berechnung zur Verfügung). Die Argumentation zur Zeitdilatation benötigt nur die beiden in der Animation querlaufenden Photonen und ist identisch mit der klassischen Lichtuhr-Konstruktion. Die Begründung der Relativität der Gleichzeitigkeit kann mit Hilfe der beiden in der Animation horizonzal bewegten Photonen erfolgen und ist identisch mit der klassischen Konstruktion, in der zwei Photonen von der Mitte eines Maßstabs (oder Wagens) emittiert und derselbe Prozess in einem relativ dazu bewegten System betrachtet wird. About... Relativitätstheorie und Kosmologie
|
Während dieser Bewegung vergeht (im bewegten System)
eine Zeitspanne, die wir als
Dtbew
bezeichnen. Die Distanz, die das Photon dabei (im bewegten System)
zurücklegt, ist
c Dtbew .
Während derselben Zeit bewegt sich der in der Animation
senkrecht dargestellte Kreisdurchmesser mit der Geschwindigkeit
v.
Insgesamt ist das Photon
also um die Länge v Dtbew nach rechts gewandert.
Die "Höhe", die das Photon
dabei gewinnt, ist gerade R, der
Radius des Kreises, womit sich das nebenstehende Diagramm ergibt.
Die Anwendung des Satzes von Pythagoras liefert eine Gleichung, die nach
Dtbew aufgelöst werden kann.
(Dieser Schritt sei den BenutzerInnen überlassen).
Damit ist im Prinzip berechnet,
wie lange sich das Photon ab dem Zeitpunkt seiner Emission nach oben
bewegt. Nach der doppelten Zeit gelangt es wieder zur horizontalen
Mittellinie, wo es auf seinen Partner trifft. Während eines
vollständigen Zyklus des Prozesses ist im bewegten System
also die Zeit
2 Dtbew vergangen.