Aufgabe: Sei $G$ die obere Hälfte der Kugel mit dem Ursprung als Mittelpunkt
und Radius $R$, und sei $f(\vec{x})=z^2-a z$, wobei $a$ eine Konstante ist. Berechnen Sie $\int_G d^3x\,f$ !
Berechnung:
- Wir sammeln zuerst die Informationen, die nötig sind, um das Integral anschreiben zu kö:nnen:
- In Kugelkoordinaten (für die generell $r\geq 0$, $0\leq\theta\leq\pi$ und $0\leq\varphi\leq 2\pi$ gilt)
ist $G$ durch die zusätzlichen Bedingungen $r\leq R$ und $\theta\leq\pi/2$ charakterisiert.
- Wir erinnern uns, dass $d^3x=dr\,r^2\,d\theta\,\sin\theta\,d\varphi$ gilt.
- Da $z=r\cos\theta$ gilt, ist der Integrand $f$ gleich $r^2\cos^2\theta -a r\cos\theta$.
- Das Volumsintegral ist daher
$$\int_G d^3x\,f=\int_0^R dr\,r^2\int_0^{\pi/2}d\theta\,\sin\theta\int_0^{2\pi}d\varphi\left(r^2\,\cos^2\theta-a\,r \cos\theta\right)$$
Wir nutzen nun die Linearität des Integrals aus, schreiben es in der Form
$$\int_0^R dr\,r^2\int_0^{\pi/2}d\theta\,\sin\theta\int_0^{2\pi}d\varphi\,r^2\,\cos^2\theta
-a\int_0^R dr\,r^2\int_0^{\pi/2}d\theta\,\sin\theta\int_0^{2\pi}d\varphi\,r\cos\theta$$
an und vereinfachen zu
$$\underbrace{\int_0^R dr\,r^4}_{\LARGE\frac{R^5}{5}}
\underbrace{\int_0^{\pi/2}d\theta\,\,\cos^2\theta\,\sin\theta}_{\LARGE\frac{1}{3}}
\underbrace{\int_0^{2\pi}d\varphi}_{\Large 2\pi}
-a
\underbrace{\int_0^R dr\,r^3}_{\LARGE\frac{R^4}{4}}
\underbrace{\int_0^{\pi/2}d\theta\,\sin\theta\cos\theta}_{\LARGE\frac{1}{2}}
\underbrace{\int_0^{2\pi}d\varphi}_{\Large 2\pi}$$
(berechnen Sie die beiden $\theta$-Integrale mit der in Volumsintegral 1 besprochenen Methode!),
was schließlich zum Ergebnis
$$\frac{2\pi R^5}{15}-\frac{\pi a R^4}{4}=\frac{1}{60}\pi R^4\left(8R-15a\right)$$
führt.
Nachbemerkung: Nehmen Sie von diesem Beispiel mit, dass das Integral einer Summe
die Summe der Integrale und dass das Integral eines Vielfachen das Vielfache des Integrals ist!
Die Regel, an die Sie sich gewissermaßen automatsch halten, wenn Sie eine Rechnung wie
$$\int dx\,\left(x+5x^2\right)=\frac{x^2}{2}+\frac{5x^3}{3}$$
durchführen, kann bei allen Typen von Integralen angewandt werden, also auch bei Volums-, Flächen- und Linienintegralen!
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