Aufgabe: Ermitteln Sie die Taylorreihe der Funktion
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$$g(x)={5\over 1-{3x}}$$
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$(1)$ |
um den Punkt $0$ ! Schreiben Sie sie in geschlossener Form (mit dem Summensymbol) an!
Die geometrische Reihe darf als bekannt vorausgesetzt werden
Berechnung:
- Wir erinnern uns an die geometrische Reihe und schreiben sie in der Form
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$${1\over 1-u}=1+u+u^2+u^3+\dots=\sum_{n=0}^\infty u^n$$
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$(2)$ |
an.
- Der gegebene Funktionsterm (1) hat eine ähnliche Struktur – mit den zwei Unterschieden, dass der Nenner einen Faktor $5$
enthält (der aber keinerlei Schwierigkeiten machen wird) und dass im Zähler $3x$ steht,
wo es in (2) einfach $u$ heißt.
- Um die Formel (2) anwenden zu können, setzen wir $u=3x$. Damit wird
$${5\over 1-{3x}}=5\cdot{1\over 1-u}=5\,\sum_{n=0}^\infty u^n$$.
- Jetzt können wir wieder $u$ durch $3x$ ersetzen und erhalten
$$g(x)={5\over 1-{3x}}= 5\,\sum_{n=0}^\infty (3x)^n=5\,\sum_{n=0}^\infty 3^n x^n$$
Ob man das Ergebnis besser in der Form $$\sum_{n=0}^\infty 5\cdot 3^n x^n$$ anschreiben soll, ist Geschmackssache.
- Obwohl es nicht verlangt ist, die ersten Reihenglieder anzuschreiben, ist es eine sinnvolle Übung:
$$g(x)=5\left(1+3x+3^2x^2+3^3x^3+\dots\right)\equiv 5\left(1+3x+9x^2+27x^3+\dots\right)$$
Nachbemerkung: Keine Scheu vor der Schreibweise mit dem Summensymbol!
Halten Sie sich bitte vor Augen, dass
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$$\sum_{n=2}^7{\sf etwas}_n$$
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$(3)$ |
einfach eine Kurzschreibweise für
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${\sf etwas}_2+{\sf etwas}_3+{\sf etwas}_4+{\sf etwas}_5+{\sf etwas}_6+{\sf etwas}_7$
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$(4)$ |
ist. Die Variable $n$ wird nur dafür benötigt, um ausdrücken zu können: "Ersetze im Ausdruck ${\sf etwas}_n$
die Variable $n$ durch $2$, dann durch $3$, dann durch $4$ usw. bis $7$, und dann addiere alle Ausdrücke, die auf diese
Weise erhalten wurden". In der ausgeschriebenen Summe (4) kommt dann kein $n$ mehr vor.
Wie eine solche Summationsvariable (auf Englisch dummy variable) bezeichnet wird, ist gleichgültig (wobei ich allerdings von der Verwendung
des Buchstaben $i$ wegen der Verwechslungsgefahr mit der imaginären Einheit abrate). Man könnte (3)
genausogut in der Form
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$$\sum_{k=2}^7{\sf etwas}_k$$
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schreiben.
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