Aufgabe: Berechnen Sie die Eigenvektoren der Matrix
$$A=\left(\begin{array}{cc}
3 & 5\\
0 & 3
\end{array}\right)$$
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$(1)$ |
Berechnung:
- Zuerst benötigen wir die Eigenwerte von $A$. Da $A$ eine Dreiecksmatrix ist, erkennen wir ohne Rechnung, dass $A$
nur den Eigenwert $\lambda=3$ besitzt.
- Der Eigenraum zum Eigenwert $3$ besteht aus allen Vektoren
$u=\left(\begin{array}{c}u_1\\u_2\end{array}\right)$, die die Eigenwertgleichung $Au=3u$ erfüllen. Mit
$$Au=\left(\begin{array}{cc}
3 & 5\\
0 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u_1\\u_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3u_1+5u_2\\3u_2\end{array}\right)$$
lautet das (linear-homogene) Gleichungssystem $Au=3u$ in Komponenten
\begin{eqnarray}
3u_1+5u_2&=& 3u_1\\
3u_2 &=& 3u_2
\end{eqnarray}
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$(2)$ $(3)$ |
Die zweite Gleichung ist eine Identität und kann daher weggelassen werden. Die erste wird zu
vereinfacht. Auf diese einzige Aussage reduziert sich die Eigenwertgleichung $Au=3u$.
Ihre Lösungsmenge (d.h. der Eigenraum zum Eigenwert $3$) besteht daher aus allen Vektoren der Form
$$u=\left(\begin{array}{c}u_1\\0\end{array}\right)\equiv u_1\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)$$
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$(6)$ |
d.h. aus allen Vielfachen von $\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)$. Die Eigenvektoren zum Eigenwert $3$ sind
genau die nichttrivialen Vielfachen dieses Vektors (d.h. alle Vektoren der Form (6) mit $u_1\neq 0$).
Nachbemerkung: Wir haben hier ein Beispiel für eine nicht-diagonalisierbare
Matrix vor uns: Ihre Eigenvektoren spannen eine Gerade auf, nicht aber den ganzen $\mathbb{C}^2$. Es gibt daher keine
Basis aus Eigenvektoren. Hätte die Aufgabe die Zusatzfrage gehabt, ob $A$ eine normale Matrix ist, so hätten
wir nicht eigens überprüfen müssen, ob $A^\dagger A=A A^\dagger$ gilt, denn eine normale Matrix ist
diagonalisierbar, und daher ist $A$ nicht-normal.
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