Eigenvektoren 2


Franz Embacher

Fakultät für Physik der Universität Wien

 
Aufgabe: Berechnen Sie die Eigenvektoren der Matrix
$$A=\left(\begin{array}{cc} 3 & 5\\ 0 & 3 \end{array}\right)$$ $(1)$
Berechnung:
  1. Zuerst benötigen wir die Eigenwerte von $A$. Da $A$ eine Dreiecksmatrix ist, erkennen wir ohne Rechnung, dass $A$ nur den Eigenwert $\lambda=3$ besitzt.
     
  2. Der Eigenraum zum Eigenwert $3$ besteht aus allen Vektoren $u=\left(\begin{array}{c}u_1\\u_2\end{array}\right)$, die die Eigenwertgleichung $Au=3u$ erfüllen. Mit $$Au=\left(\begin{array}{cc} 3 & 5\\ 0 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u_1\\u_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3u_1+5u_2\\3u_2\end{array}\right)$$ lautet das (linear-homogene) Gleichungssystem $Au=3u$ in Komponenten

    \begin{eqnarray} 3u_1+5u_2&=& 3u_1\\ 3u_2 &=& 3u_2 \end{eqnarray} $(2)$
    $(3)$

    Die zweite Gleichung ist eine Identität und kann daher weggelassen werden. Die erste wird zu

    $u_2=0$ $(4)$
    $(5)$

    vereinfacht. Auf diese einzige Aussage reduziert sich die Eigenwertgleichung $Au=3u$. Ihre Lösungsmenge (d.h. der Eigenraum zum Eigenwert $3$) besteht daher aus allen Vektoren der Form

    $$u=\left(\begin{array}{c}u_1\\0\end{array}\right)\equiv u_1\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)$$ $(6)$

    d.h. aus allen Vielfachen von $\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)$. Die Eigenvektoren zum Eigenwert $3$ sind genau die nichttrivialen Vielfachen dieses Vektors (d.h. alle Vektoren der Form (6) mit $u_1\neq 0$).

Nachbemerkung: Wir haben hier ein Beispiel für eine nicht-diagonalisierbare Matrix vor uns: Ihre Eigenvektoren spannen eine Gerade auf, nicht aber den ganzen $\mathbb{C}^2$. Es gibt daher keine Basis aus Eigenvektoren. Hätte die Aufgabe die Zusatzfrage gehabt, ob $A$ eine normale Matrix ist, so hätten wir nicht eigens überprüfen müssen, ob $A^\dagger A=A A^\dagger$ gilt, denn eine normale Matrix ist diagonalisierbar, und daher ist $A$ nicht-normal.


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