Verschiedenes Physikalisch-Astronomisches

Raketenantrieb lenkt Asteroiden ab?

Laut http://de.wikipedia.org/wiki/Schub hatte das Space Shuttle einen Antrieb, der eine Kraft von 30.000 kN ausüben konnte.
Nach http://de.wikipedia.org/wiki/Space_Shuttle betrug die Brennzeit etwa 2 Minuten.
Was bewirkt ein solcher Antrieb, wenn er einen Asterioden aus der Bahn werfen soll?

Berechnung in einem “lokalen Inertialsystem” entlang der ursprünglichen Bahn des Asteroiden auf Kollisionskurs:

Phase 1: Beschleunigung von t=0 bis t=(Subscript[t, Brenn])

	Konstante Kraft -> konstante Beschleunigung a=F/m,
	daher am Ende der Brennphase: (Subscript[s, 1])=(a/2)((Subscript[t, Brenn])^2)=(F/(2m))((Subscript[t, Brenn])^2) und (Subscript[v, 1])= a (Subscript[t, Brenn]).
	Asteroid mit Radius r und Dichte ρ hat eine Masse  m=V ρ=((4π)/3)(r^3)ρ, daher 

		(Subscript[s, 1])=((3F)/(8π (r^3)ρ))((Subscript[t, Brenn])^2)   und   (Subscript[v, 1])=((3F)/(4π (r^3)ρ))(Subscript[t, Brenn]).
		
Phase 2: Danach, bis zum Eintreffen auf der (oder nahe der) der Erde,
	von t=(Subscript[t, Brenn]) bis t=(Subscript[t, Brenn])+(Subscript[t, danach])

	Gleichförmige Bewegung (Subscript[s, ges])=(Subscript[s, 1])+ (Subscript[v, 1]) (Subscript[t, danach])=((3F)/(8π (r^3)ρ))(Subscript[t, Brenn])((Subscript[t, Brenn])+2(Subscript[t, danach]))≈((3F)/(4π (r^3)ρ))(Subscript[t, Brenn]) (Subscript[t, danach]).

Umsetzungsmöglichkeit 1 - typische Werte einsetzen:

F=3*(10^7)Newton/.Newton->((kg meter)/(sek^2));
tBrenn=120 sek;
ρ=3500 (kg/(meter^3));
r =1000meter;
tDanach=365Tage/.Tage->3600*24sek;
(* (Subscript[s, ges]) = *)
((3F)/(8π ((r )^3)ρ))tBrenn(tBrenn+2tDanach )/.meter->(km/1000)//N

Umsetzungsmöglichkeit 2 - interaktive Berechnung:

F=3*(10^7)Newton/.Newton->((kg meter)/(sek^2));
ρ=3500 (kg/(meter^3));
tBrenn=120 sek;
style[x_]:=Text[Style[x,18,Black]]
Manipulate[Grid[{
{"  (Subscript[s, 1]) =",((3F)/(8π (((r meter))^3)ρ))(tBrenn^2)//N,"... Ortsveränderung nach der Brennphase"},
{"  (Subscript[v, 1]) =",((3F)/(4π (((r meter))^3)ρ))tBrenn/.(meter/sek)->"(meter/sek)"//N, "... Geschwindigkeit nach der Brennphase"},
{"  (Subscript[a, 1]) =",((3F)/(4π (((r meter))^3)ρ))/.(meter/(sek^2))->"(meter/(sek^2))"//N,"... Beschleunigung nach der Brennphase"},
{"(Subscript[s, ges]) =",((3F)/(8π (((r meter))^3)ρ))(tBrenn^2)+((3F)/(4π (((r meter))^3)ρ))tBrenn (t 3600*24 sek)/.meter->(km/1000)//N,"... Ort relativ zum ursprünglichen Kurs am Ende"}

}, Alignment->Left,Background->RGBColor[0.9,0.9,0.9],Frame->White,Spacings->{1.2,0.8}],{{r,100,"Radius des Asteroiden (in Meter): "//style},1,10000,1,Appearance->"Labeled"},
{{t,0,"Zeit nach der Brennphase (in Tagen): "//style},0,365,1,Appearance->"Labeled"}
]//style

Gravitationsgesetz und 3. Keplersches Gesetz für die Kreisbewegung

Zweikörperproblem: Sonne und Jupiter

Könnte man den Jupiter vom einer Entfernung, die jener des nächsten Sterns (4.4 Lj) entspricht, durch das “Schwanken” der Sonne und den daraus resultierenden Dopplereffekt (Radialgeschwindigkeitsmethode) “entdecken”? (Optimale Sicht auf die Sonne vorausgesetzt)

	(Subscript[M, ⊙])≈2*(10^30)kg
	(Subscript[M, Jupiter])≈2*(10^27)kg
	(Subscript[r, Jupiterbahn])≈5AE≈750 Millionen km
	(Subscript[T, Jupiterumlauf])≈12 Jahre
	Radialer optischer Dopplereffekt: (Subscript[f, Empfänger])=(Subscript[f, Sender])(Sqrt[((c-v)/(c+v))])(Underscript[≈, wenn |v| << c])(Subscript[f, Sender])(1-(v/c))
		v>0 für Voneinander-weg-Bewegung [Rotverschiebung]
		v<0 fürAufeinander-zu-Bewegung [Blauverschiebung]
		z=relative Wellenlängenverschiebung=(((Subscript[λ, Empfänger])-(Subscript[λ, Sender]))/(Subscript[λ, Sender]))=(((Subscript[f, Sender])-(Subscript[f, Empfänger]))/(Subscript[f, Empfänger]))(Underscript[≈, wenn |v| << c])(v/c)
	Die heute erreichbare Messgrenze liegt bei etwa z≈2*(10^(-9)), entsprechend v≈0.5m/s.

Fragen:

	■ Wie bewegt sich die Sonne durch den Einfluss des Jupiter?
	■ Wie groß ist der resultierende Dopplereffekt? (z=?)

Eine der letzten Enteckungen:
Xavier Dumusque et. al.: An Earth-mass planet orbiting α Centauri B, Nature (2012)
(online, mit VPN: http://www.nature.com/nature/journal/vaop/ncurrent/full/nature11572.html): Entdeckung eines Kandidaten für einen Exoplaneten mit ungefährer Erdmasse um einen Stern, der unserem nächsten Nachbarsternsystem angehört!
	T=3.2 Tage
	r=0.04AE
	(Subscript[v, radial])=0.51m/s, d.h. z=1.7*(10^(-9))

Lösung:

Der Massenmittelpunkt des Sonne-Jupitersystems liegt in einer Entfernung

	(Subscript[r, Sonne,MMP])=((Subscript[M, Jupiter])/((Subscript[M, ⊙])+(Subscript[M, Jupiter])))(Subscript[r, Jupiterbahn])≈((Subscript[M, Jupiter])/(Subscript[M, ⊙]))(Subscript[r, Jupiterbahn])≈((Subscript[r, Jupiterbahn])/1000)≈0.75 *(10^6)km

von der Sonne (also fast am Sonnenrand!). Die Sonne rotiert um ihn mit einer Umlaufszeit von 12 Jahren, daher ist ihre Geschwindigkeit

	(Subscript[v, Sonne])=(Bahnumfang/Umlaufszeit)≈((2π (Subscript[r, Sonne,MMP]))/(12 Jahre))≈((2π * 0.75 *(10^6)km)/(12 Jahre))≈390000km/Jahr≈12(m/s).

Das liegt deutlich oberhalb der heutigen Messgrenze von 0.5m/s! Daher wäre es kein Problem, den Jupiter zu entdecken! Allerdings wirkt sich erschwerend aus, dass die Periodendauer des Frequenzsignals mit 12 Jahren sehr lang ist!

Interessante Beobachtung: Die Entfernung des Beobachtungsortes ist nicht in die Rechnung eingegangen!
(Sie geht indirekt ein: Je kleiner die Lichtausbeute, umso schwieriger die Messung von z und damit die Bestimmung von (Subscript[v, Sonne])).

Nachbemerkungen:

	■ Wäre die Erde der einzige Planet der Sonne, so wäre die von ihr verursachte Geschwindigkeit
	    der Sonne 9 (cm/s). Die Erde - selbst wenn sie der einzige Planet wäre - könnte man auf diese
	    Weise nicht entdecken!
	■ Der Saturn als einziger Planet würde eine Sonnengeschwindigkeit von knapp 3(m/s) verursachen.
	    In Kombination mit Jupiter führt er zur Überlagerung zweier Frequenzsignale, die beide
	    beobachtbar wären. Es wäre daher sogar möglich, auf die Existenz zweier Planeten der Sonne
	    zu schließen! Die Einflüsse aller anderen Planeten auf die Sonnenbewegung wären (bei heutiger
	    Technologie) unbeobachtbar.