Joukowski-Transformation

Ergänzung zu Analysis für PhysikerInnen III, Kapitel Funktionentheorie
Franz Embacher, Universität Wien, WS 2019/20

Durch die konforme Transformation

	z |-> ζ=(1/2)(z+(1/z))

wird die Kreislinie |z-μ|=R in ein Tragflügelprofil übergeführt. Dabei muss 1 auf der Kreislinie und -1 im Inneren des Kreises liegen. Für μ=-0.156+0.31i  sieht das so aus: Die Kreislinie

geht in

über. Die Punkte ±1 sind (die einzigen) Fixpunkte der Transformation.

Damit kann die Strömung einer reibungsfreien inkompressiblen Flüssigkeit um den Kreis (physikalisch als Strömung um einen Zylinder gedeutet) in eine Strömung um das Tagflügenprofil tranformiert werden. Hier ein Beispiel:

Die durch die holomorphe Funktion

	f(z)=(1/2)((((e^(-i α))(z - μ))/R)+(R/((e^(-i α))(z - μ))))

definierte Strömung beschreibt in der Variable z (man spricht salopp von der “z-Ebene”) einen Fluss um den Kreis |z-μ|≤R mit Steigungswinkel (im Unendlichen) α. Hier ein Plot dieser Strömung mit μ wie oben und α=0.1:

Gemäß der in der Vorlesung besprochenen komplexen Strömungstheorie sind die Stromlinien die Linien

	Im(f(z))=c=const.

Für c>0 liegen sie außerhalb des Kreises (eine Auswahl ist oben geplottet). Die Stromlinie für c=0 fällt mit der Kreislinie zusammen. Die Stromlinien für c<0 verlaufen innerhalb des Kreises und sind hier nicht gezeigt.

Werden diese Stromlinien in die “ζ-Ebene” transformiert, so sieht die resultierende Strömung so aus:

Dass die (doch recht einfache) konforme Abbildung z |-> ζ=(1/2)(z+(1/z)) einen Kreis in ein Tragflügelprofil überführt, wurde 1910 von Nikolai Joukowski (es existieren auch die Schreibarten Schukowski, Zhukovski u.ä.) entdeckt. Eine Verallgemeinerung, die realistischere Profile beschreibt, ist die Kármán-Trefftz-Transformation.