1. Mitarbeit: 20%
   Vorbereiten der Übungsaufgaben ("Kreuzerlliste", 50% der Aufgaben müssen angekreuzt werden), Vorrechnen von Übungsaufgaben
   (Die Kreuzerlliste hängt vor der LV neben meinem Zimmer. Falls jemand an die Tafel gerufen wird und es sich herausstellt, dass er / sie das von ihm / ihr angekreuzte Beispiel nicht vorbereitet hat (oder gar nicht anwesend ist), so werden sämtliche in dieser Stunde angekreuzten Beispiele gestrichen.)
2. Zwischentest (1.12.2004): 40%
3. Abschlusstest (26.1.2005): 40%
   (im Abschlusstest müssen mindestens 30% der Punkte erreicht werden)

freiwillige Aufgaben: Wir werden nicht alle Übungsaufgaben der Aufgabensammlung in der LV durchbesprechen können. Ich empfehle trotzdem alle Übungsaufgaben durchzurechnen. Sie können Bonuspunkte sammeln, wenn Sie mir die gelöste Aufgabe als pdf- oder html / htm-file per email schicken (bitte ins Subject "OR: Aufgabe <nr>" schreiben). Die erste richtige Lösung, die ich erhalte, stelle ich auf diese Seite. Sobald eine Lösung im Web steht, bitte keine weiteren Lösungen mehr zuschicken (es gibt dann keine Bonuspunkte mehr)! - außer, Sie präsentieren einen alternativen Lösungsweg.
Bitte beachten Sie die Hinweise zur Erstellung der Lösungen!

Lösungen von freiwilligen Übungsaufgaben

Kopiervorlage

einige nützliche Tools

Datum	Themen	Materialien, Hinweise
6.10.2004	Organisatorisches Einführung: Entstehung und Begriff des OR Lineare Programmierung: Formulierung und grafische Lösung	Einführung (inkl. Übungsaufgaben 1-5): pdf: normale Größe (28 Seiten) / pdf: verkleinert (14 Seiten) (Version vom 5.10.2004)
12.10.2004	Übungsaufgaben 1-5, 9 freiwillige Übungsaufgaben: 6, 7, 8, 10 Lösungen	Lineare Programmierung: Abschnitte 1-6 (Version vom 4.11.2004) Übungsaufgaben 6-33
13.10.2004	Übungsaufgabe 11 Lineare Programmierung: Simplexverfahren
19.10.2004	Übungsaufgaben 12 (grafisch), 22 freiwillige Übungsaufgaben: 13, 14, 16 bisherige Lösungen Lineare Programmierung: Simplexverfahren	Folien: Übungsaufgabe 15 Lösung des Beispiels aus Abschnitt 2.1 mittels Simplexalgorithmus
20.10.2004	Übungsaufgabe 12e Sonderfälle beim Simplexverfahren Übungsaufgaben 23, 24, 25, 27 Darstellung eines LP in Matrixschreibweise	Korrektur auf S.12: Siehe auch Übungsaufgabe 30 (statt 34) - neue Seite 12
26.10.2004	Feiertag
27.10.2004	Übungsaufgaben 20, 25, 28, 30 a, b freiwillige Übungsaufgaben: 17-19, 21 Lösungen Interpretation der Simplextableaus	Simplextableaus für Übungen 23, 24, 26 Bitte beachten Sie die Änderung in Aufgabe 12 neue Seite 7 der Aufgabensammlung
2.11.2004	vorlesungsfrei
3.11.2004	Formaler Aufbau der Simplextableaus
9.11.2004	Übungsaufgaben 29, 30c, 33	Änderung der Angabe von Aufgabe 33b: Geben Sie die Basismatrix der Lösung des Endtableaus und deren Inverse an. Überprüfen Sie die Lösung in geeigneter Weise. Ergänzungen auf S.13: neue Seite 13 Lineare Programmierung: Abschnitte 7-8 (Version vom 24.11.2004) Übungsaufgaben 34-47 (Version vom 17.11.2004)
10.11.2004	Übungsaufgaben 31, 32, 33 b, c Lineare Programmierung: Dualität	Aufgabe 33a
16.11.2004	Übungsaufgaben 34, 35 Lineare Programmierung: Dualität	Modifizieren Sie die Angabe von Aufgabe 35: (a) Stellen Sie das Dual auf. Lösen Sie das Primal und geben Sie die optimalen Lösungen des Primals und des Duals an. Sind die Lösungen eindeutig? ii und (b) wie in der Angabe.
17.11.2004	Übungsaufgabe 34 (Fortsetzung) Lineare Programmierung: Dualität, duale Simplexmethode	Korrektur auf S.21: Bezeichnung der Schlupfvariablen wurde von v auf u bzw. von vj auf uj geändert neue Seite 21 Aufgabe 34 Aufgabe 35 : Lösung des Primals mittels Simplexverfahren
23.11.2004	Übungsaufgaben 36, 37, 38 (alte Nummer 39), 39 (alte Nummer 40): für das Primal haben wir in der LV das Ausgangstableau formuliert, ermitteln Sie dessen Lösung mittels dualer Simplexmethode 42 (alte Nummer 43) freiwillige Aufgaben: 40, 41, 43, 46b (alte Nummern 41, 42, 45, 48b) bisherige Lösungen	Bemerkung zu Aufgabe 37: Lösen Sie das Primal grafisch und verwenden Sie die komplementären Schlupfbedingungen, um die Lösung des Duals zu ermitteln. Achtung: Korrektur der Nummerierung der Übungsaufgaben: Aufgaben 38 und 44 werden gestrichen (da sie doppelt vorkommen), bitte ändern Sie die Nummerierung der Aufgaben entsprechend! Details finden Sie unter Korrekturen. Übungsaufgaben 56-58 Nachtrag: Aufgabe 29 (anscheinend hat sich beim Anschreiben der Tableaus in der LV am 9.11. ein Fehler eingeschlichen, hier die richtigen Tableaus)
24.11.2004	Übungsaufgaben 36 (Fortsetzung), 38 (alte Nummer 39), 42 (alte Nummer 43)	Aufgabe 36 Aufgabe 39 (korrigierte Version vom 24.11.) Korrektur in der Lösung von Aufgabe 34: drittletzte Zeile: ữ = 12 (statt ữ = 0)
30.11.2004	Übungsaufgaben 50 a, d, 61 (Angabe siehe in nebenstehender Spalte) Lineare Programmierung: Zweiphasenmethode	Aufgabe 61: Ermitteln Sie für das LP aus Aufgabe 9c (für den Fall, dass die Kapazität der Brotabteilung 500 kg/Tag beträgt) alle optimalen Lösungen des Duals (Hinweis: In Aufgabe 20 haben Sie das LP bereits mittels Simplexverfahren gelöst.) Korrektur in der Lösung von Aufgabe 39: Lösungsspalte des Duals, Zeile von u3: 2.Tableau: 7/2 (statt 11/2; diese Korrektur wurde schon in der LV durchgeführt); 3.Tableau: 2 (statt 4) Korrektur auf S.21, Preistheorem (3. und 4. Zeile der Formeln): i = 1, ..., m (statt n) - neue Seite 21
1.12.2004	Zwischentest --- Ergebnisse Einsicht: in meiner Sprechstunde Musterlösungen: Aufgabe 1 / Aufgabe 2 18.30 Uhr: gemütliches Beisammensein im Universitätsbräu (Reservierung unter dem Namen Gaunersdorfer im Keller des Lokals)
7.12.2004	Übungsaufgabe 44 (alte Nummer 46) freiwillige Übungsaufgaben: 45, 46a, 47 (alte Nummern 47, 48a, 49) bisherige Lösungen Die Lösung von der freiwilligen Aufgabe 43 fehlt noch! Lineare Programmierung: Sensitivitätsanalyse	Lineare Programmierung: Abschnitt 9, Literaturverzeichnis (korrigierte Version vom  13.12.2004) Korrektur auf S.29, letzte Formel vor Punkt 2: Dk+ :=   (statt Dk+ £) - neue Seite 29 "Arbeitsblätter" Teil 1 / Teil 2 Übungsaufgabe 62 (korrigierte Version vom 13.12.)
	Um Ihr "Punktekonto" zu verbessern, lösen Sie Aufgaben 53, 59 und 62 bis zum Beginn der Weihnachtsferien (Sie können mir die gelösten Aufgaben persönlich abgeben oder über email schicken). Ich vergebe max. 10 Punkte, die am Semesterende zu den Punkten der beiden Tests als "Bonuspunkte" dazuaddiert werden.
8.12.2004	Feiertag
14.12.2004	Übungsaufgaben 49, 50c freiwillige Aufgaben: 51, 52, 54, 55 bisherige Lösungen Lineare Programmierung: Sensitivitätsanalyse Nichtlineare Programmierung	Wiederholen Sie folgende Begriffe aus den Mathematikkursen: konvexe und konkave Funktion, konvexe Menge (siehe auch Abschnitt 2.6), Hessesche Matrix, Positiv- und Negativdefinitheit von Matrizen, Determinanten, Eigenwerte, Rang einer Matrix Nichtlineare Programmierung: Abschnitte 1-3 (korrigierte Version vom  15.12.2004) Übungsaufgaben 63-69 Korrekturen: Übungsaufgabe 62: Koeffizient in 1.Zeile/3.Spalte von B-1: -1/15 (statt 1/15) 3.Nebenbedingung: 60 x5 (statt 60 x2) neue Aufgabe 62 S.29, erste zentrierte Formel: _cj* = ... = cj* + akj* Dk   (statt -cj* + akj* Dk) neue Seite 29
15.12.2004	freiwillige Übungsaufgaben: Lineare Porgrammierung: 50 b, e, f, 52, 54, 55 Nichtlineare Programmierung: 63-69 (wir werden einzelne Übungsaufgaben, insbes. wenn es Fragen gibt, in der LV besprechen) Grafiken der Funktionen in 2 Variablen in Aufgabe 63 siehe Link zu Mathematik Online Werkzeugen unten bisherige Lösungen Optimierung ohne Nebenbedingungen	Sie können mir die Lösungen der Beispiele, die wir in der LV nicht angeschrieben haben schicken: 49a, Ermittlung der neuen optimalen Lösungen von (ii) und (iii) von 49c, Ermittlung der neuen optimalen Lösungen von 50c, Ermittlung der neuen optimalen Lösung von 48e (siehe Vorlesung)
11.1.2005	Optimierung unter Gleicheitsnebenbdingungen: Die Methode von Lagrange	Folien: grafische Darstellung der Zielfunktion des Beispiels auf S.3 Beispiele von Funktionen f: R2 ® R: Folie 1 / Folie 2 / Folie 3 Tangentialebene dreidimensionale Darstellung des Beispiels auf S.7 Optimierung unter Ungleichheitsnebenbedingungen Korrektur in der Definition auf S.4: in der linken Seite der Ungleichungen sollten x1 und x2 fett gedruckt sein: f(lx1 + (1-l)x2) neue Seite 4 Nichtlineare Programmierung: Abschnitte 4-6 Übungsaufgaben 70-93 + Literaturangaben
12.1.2005	Nichtlineare Prgrammierung: Kuhn-Tucker-Bedingungen, Übungsaufgabe 75 Ökonomische Interpretation der Lagrange-Multiplikatoren, Übungsaufgabe 71	zusätzliche Übungsaufgaben: 69 f:   Maximiere bzw. minimiere f(x1,x2,x3) = 2x1x2x3   u.d.NB   3 - x12 - x22 - x32 = 0 69 g:   Maximiere bzw. minimiere f(x1,x2,x3) = 4 lnx1 + 2x2 + 8x3   u.d.NB   8 - x1 - x2 - 2x3 = 0 und 1 - 0.5x1 - x3 = 0 Literaturhinweise: D.Leonard, N.Van Long, Optimal control theory and static optimization in economics, Cambridge University Press, 1992 (siehe Kopiervorlage). A.C.Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.), McGraw-Hill, New York, 1984. siehe auch fortgeschrittene Bücher der Mikroökonomie bzw. der mathematischen Ökonomie, Kapiteln über Optimierung Korrekturen: S.11, Slater Bedingung: gi(x*) ist konvex und es existiert ein x>0, sodass gi(x*)<0 für alle i. Aufgabe 78: grad f(x*) = -l1 grad g1(x*) - l2 grad g2(x*) zur Berechnung von Determinanten
18.1.2005	Zusammenhang zwischen Preistheorem der Linearen Programmierung und den Kuhn-Tucker-Bedingungen Interpretation der Kuhn-Tucker-Bedingungen Übungsaufgaben: 89, 73, 69 f, g Lösungen der Aufgaben 69 a, b, c (Lösungen zu den Aufgaben 69 d, e können noch geschickt werden!)
19.1.2005	Ergänzung zu Aufgabe 73 Übungsaufgaben: 82, 84, 77d Grafiken zu den Aufgaben:
25.1.2005	Übungsaufgaben: Kuhn-Tucker-Bedingungen: 80a, 81, 83, 85, 86 (Ergänzung zu Aufgabe 83: Überprüfen Sie die Regularitätsbedingungen.) Ökonomische Interpretation der Lagrange-Multiplikatoren: 70, 72 freiwillige Aufgaben: 74, 76, 78, 79, 87, 88 Grafiken, Ergebnisse und Hinweise für die Aufgaben 70, 72, 74, 75, 77, 78, 80a, 81-86 (Achtung: Korrektur der Lösung von 72b am 24.1.) Schicken Sie mir trotzdem (vollständige) Lösungen zu. Richtige Lösungen stelle ich ins Netz. bisherige Lösungen
26.1.2005	Abschlusstest--- Ergebnisse

Mathe Online:   Mathematik Online Werkzeuge
(Rechner, Tools zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen, Zeichnen von Funktionsgrafen, Differenzieren, Integrieren, Berechnen von Eigenvektoren und Eigenwerten von Matrizen)

• MathServ Project (ein Projekt an der Vanderbilt University, bietet nützliche Online-Werkzeuge, z.B. zum Plotten von Funktionsgraphen, Graph von f(x,y) als 3D-Graphik, auch mit der Maus rotieren, Differenzieren, Berechnen von Eigenwerten etc.)
• Simple 3D Graph z=f(x,y) (Graph von f(x,y) als 3D-Graphik, auch mit der Maus rotieren;
  Hinweis: Der Plottbereich ist mit x:[-4,4], y:[-4,4] vorgegeben, will man andere Bereiche darstellen, kann man
  • die Funktion mit einer Konstanten multiplizieren (Streckung oder Stauchung) oder
  • zur Funktion eine Konstante addieren (Verschiebung nach oben oder unten) oder
  • anstelle von f(x,y), f(x+a, y+b) plotten (seitliche Verschiebung entlang der x- und y-Achse)
• Matrix Calculator (kann z.B. Summe, Produkt von nxn-Matrizen, Determinanten, die Inverse einer Matrix etc. berechnen)