040100 VO Mathematik 2
 

• Überblick Optimierungsprobleme
  Einführung in die Lineare Programmierung: Modellformulierung, Annahmen, grafische Lösung
  (Skriptum Kap. 2.2, Anhang B, Kap. 10: bis inkl. 10.1.4, 10.1.7;
  Grafik zum Beispiel in Anhang B, Portfoliooptimierung und Annahmen von LP: zusätzliche Folien in Moodle)
• Reellwertige Funktionen in mehreren Variablen (Skriptum Kap. 3.1: bis inkl. 1.Beispiel auf S.17;
  grafische Darstellung von Funktionen in 2 Variablen und Niveaufläche einer Funktion in 3 Variablen (Dodekaederstern am OMP1): zusätzliche Folien in Moodle)

Wiederholen Sie folgende Kapitel aus Mathematik 1 (siehe Skriptum, Aufgabe auf S.6)

• Differentialrechnung
• Kurvendiskussion
• Taylor-Approximation
• Matrizenrechnung:
  • Determinanten
  • Eigenwerte und Eigenvektoren
  • Definitheit von Matrizen
  • Rang einer Matrix
• lineare Gleichungssysteme

• Reellwertige Funktionen in mehreren Variablen (Skriptum Kap.3.1, S.18f)
  
  • Beispiel: Cobb-Douglas Funktionen
• Differenzierbarkeit reellwertiger Funktionen (Skriptum Kap. 3.3)
  • Partielle Ableitungen, abnehmende Grenzzuwächse
  • Differenzierbarkeit, Ableitung, Gradient, Stetigkeit

Folgende Themen waren geplant:

• innere Punkte, Randpunkte einer Menge, offene Mengen, Umgebungsbegriff (Skriptum Kap.3.2)
  
  
• Vektorwertige Funktionen
  • Beispiel: Windkarte
  • Grafische Darstellung (Skriptum Kap. 3.4.1)
  • Differenzierbarkeit vektorwertiger Funktionen, Jacobi-Matrix (Skriptum Kap. 3.4.2)
  • Kettenregel (Skriptum Kap. 3.4.1, zusätzliche Folie in Moodle)
  
  
• Richtungsableitung (Skriptum Kap. 3.5.1)
• totales Differential (Skriptum Kap. 3.5.2)
• Gradient: geometrische Interpretation (Skriptum Kap. 3.5.3)
• 2.Ableitung: Hesse-Matrix (Skriptum Kap. 3.5.4)
• 2.Richtungsableitung (Skriptum Kap. 3.5.6)
• Zusammenhang mit Optimierung (Skriptum Kap.2.1, 3.5.6)
• Wiederholung aus der Linearen Algebra (Mathematik 1, Skriptum Anhang A.4, insbes. A.4.2):
  Definitheit von Matrizen (Definition mittels quadratischer Formen, Bestimmung mittels Eigenwerten und (führenden) Hauptminoren), geometrische Interpretation der Eigenvektoren
  
  
• Konvexität:
  • konvexe Mengen, Konvexkombinationen, konvex Hülle (Skriptum Kap.4.1)
  • Innere Punkte, Randpunkte einer Menge (Skriptum Kap.3.2)
  • Konvexe und konkave Funktionen (Skriptum Kap.5, zusätzliche Folien in Moodle)
    • Definition
    • Epigraph, Niveaumengen (Konturmengen)
    • Eigenschaften konvexer und konkaver Funktionen
    • Beispiele zu konvexen und konkaven Funktionen (Skriptum Kap. 5.2, Beispiele 1-3, zusätzliche Folie in Moodle)
  
  
• Optimierung von Funktionen in mehreren Variablen (Skriptum Kap.6)
  • Definition lokales/globales Maximum/Minimum, Maximizer/Minimizer
  • lokale Extrema, kritische Punkte (Skriptum Kap.6.1, zusätzliche Folie in Moodle)
  • Komparative Statik (Skriptum Kap.6.1.1, 6.2 bis S.79 Mitte)

• Inverse und implizite Funktionen (Skriptum Kap.7)

• Optimierung unter Gleichheits-Nebenbedingungen: Die Methode von Lagrange (Kap.8.1-8.3)
  • Bedingungen erster und zweiter Ordnung
  • Interpretation der Lagrange-Multiplikatoren

• Optimierung unter Gleichheits-Nebenbedingungen: Die Methode von Lagrange (Kap.8.4-8.7)
  • Globale Optima
  • Quasikonkavität und Quasikonvexität
  • Bemerkungen zur Substitutionsmethode
  • Ökonomische Anwendungen

• Nichtlineare Programmierung und die Kuhn-Tucker-Bedingungen
  • Konvexe Programmierung (Kap.9.1)
  • Beispiele aus Kap.9.2 und Kap.9.8.1
  • Kuhn-Tucker-Bedingungen: Spezialfälle (Kap.9.2.2)
  • Was bedeutet es, dass die KTB hinreichend bzw. notwendig sind? (Kap.9.2.3)

• Lineare Programmierung (Kap.10.1-10.5.1)
  • Grundbegriffe
  • Charakterisierung der Menge der zulässigen und optimalen Lösungen eines LP
  • Die Simplexmethode
  • Sonderfälle

• Lineare Programmierung (Kap.10.5.2, 10.6)
  • Theorie des Simplexverfahrens
  • Interpretation der Simplextableaus

• Lineare Programmierung (Kap.10.5.3, 10.7-10.8)
  • Dualität
  • Grundideen der Sensitvitätsanalyse (nur grafisch)
  • Interpretation einer Computerlösung