040100 VO Mathematik 2
 

• Überblick Optimierungsprobleme
  (inkl. Einführung in die Lineare Programmierung: Modellformulierung, Annahmen, grafische Lösung)
  (Skriptum Kap. 2.2, Anhang B, Kap. 10: bis inkl. 10.1.4, 10.1.7;
  Portfoliooptimierung und Annahmen von LP: zusätzliche Folien in Moodle)
• Reellwertige Funktionen in mehreren Variablen
  Cobb-Douglas-Funktion
  (Skriptum Kap. 3.1;
  grafische Darstellung von Funktionen in 2 Variablen: zusätzliche Folien in Moodle)

Wiederholen Sie folgende Kapitel aus Mathematik 1

• Differentialrechnung
• Kurvendiskussion
• Taylor-Approximation
• Matrizenrechnung:
  • Determinanten
  • Eigenwerte und Eigenvektoren
  • Definitheit von Matrizen
  • Rang einer Matrix
• lineare Gleichungssysteme

• Differenzierbarkeit rellwertiger Funktionen (Skriptum Kap. 3.3)
  • Partielle Ableitungen, abnehmende Grenzzuwächse
  • Differenzierbarkeit, Ableitung, Gradient, Stetigkeit
    
• Vektorwertige Funktionen (Skriptum Kap. 3.4, S.36)

• Wiederholung: Differenzierbarkeit reellwertiger Funktionen
• Vektorwertige Funktionen: grafische Darstellung (Skriptum Kap. 3.4.1)
• Differenzierbarkeit vektorwertiger Funktionen, Jacobi-Matrix (Skriptum Kap. 3.4.2)
• Kettenregel (Skriptum Kap. 3.4.1, zusätzliche Folien in Moodle)
• Richtungsableitung (Skriptum Kap. 3.5.1)
• totales Differential (Skriptum Kap. 3.5.2)
• Gradient: geometrische Interpretation (Skriptum Kap. 3.5.3)
• 2.Ableitung: Hesse-Matrix (Skriptum Kap. 3.5.4)
• 2.Richtungsableitung (Skriptum Kap. 3.5.6)

• 2.Richtungsableitung: Beispiel
• Zusammenhang mit Optimierung (Skriptum Kap.2.1, 3.5.6)
• Wiederholung aus der Linearen Algebra (Mathematik 1, Skriptum Anhang A.4, insbes. A.4.2):
  Definitheit von Matrizen (Definition mittels quadratischer Formen, Bestimmung mittels Eigenwerten und (führenden) Hauptminoren), geometrische Interpretation der Eigenvektoren
• Konvexität:
  • konvexe Mengen, Konvexkombinationen, konvex Hülle (Skriptum Kap.4.1)
  • Konvexe und konkave Funktionen (Skriptum Kap.5)
    • Definition
    • Epigraph, Konturmengen
    • Eigenschaften konvexer und konkaver Funktionen
    (konvexe Funktionen: zusätzliche Folien in Moodle)

1. Zeigen Sie, dass die Funktionen v(x₁, x₂) und var(x₁, x₂, x₃) des einleitenden Beispiels "Portfoliorisiko mit 3 Wertpapieren" in jeder Richtung konvex sind, wobei var(x₁, x₂, x₃) = σ_P² der Ausdruck für die Varianz der Portfoliorendite ist, wo x₃ nicht durch x₁, x₂ substituiert wurden.
2. Überprüfen Sie die Gleichung der Tangentialebene für die erste Funktion auf der Folie "7_Eigenschaften differenzierbarer konvexer und konkaver Funktionen.pdf" (siehe Moodle "Ergänzende Folien").
3. Aufgabe Skriptum S.71 für die ersten beiden Präferenzfunktionen auf S.17. Zeigen Sie die Eigenschaft, wenn σ die erste und µ die 2.Variable ist (vgl. Darstellung der Niveaulinien auf S.18).
4. Ermitteln Sie das Krümmungsverhalten der Funktion f(x, y) = ln x^ay^b   (x, y > 0) - vgl. Beispiel 3 auf S.70.
   Zeigen Sie (für dieses Beispiel), dass Eigenschaft 8 des Satzes im Skriptum S.65 gilt.

• Optimierung von Funktionen in mehreren Variablen (Skriptum Kap.6)
  • Definition lokales/globales Maximum/Minimum, Maximizer/Minimizer
  • lokale Extrema, kritische Punkte (Skriptum Kap.6.1, zusätzliche Folien in Moodle)
• Innere Punkte, Randpunkte einer Menge, offene Mengen, Umgebungsbegriff (Skriptum Kap.3.2)
• Komparative Statik und das Envelope-Theorem (Skriptum Kap.6.1.1, 6.2)
• Inverse und implizite Funktionen (Skriptum Kap.7)
  • Grundproblem
  • Inverse Funktionen
    (zusätzliche Folien in Moodle)

• Satz über implizite Funktionen (Skriptum Kap.7)
• Optimierung unter Gleichheits-Nebenbedingungen: Die Methode von Lagrange (Skriptum Kap.8)
  • Heuristische Herleitung der notwendigen Bedingungen (Skriptum Kap.8.1)
    (Beispiel aus Einleitung: zusätzliche Folien in Moodle)
  • Interpretation des Lagrange-Multiplikators (Skriptum Kap.8.2)

• Optimierung unter Gleichheits-Nebenbedingungen: Die Methode von Lagrange (Skriptum Kap.8)
  • Bedingungen zweiter Ordnung (Skriptum Kap.8.3)
  • Sätze über globale Optima (Skriptum Kap.8.4)
  • Quasikonkavität und Quasikonvexität (Skriptum Kap.8.5)
  • Bemerkungen zur Substitutionsmethode (Skriptum Kap.8.6)
  • Ökonomische Anwendungen der Methode von Lagrange und Interpretationen:
    Portfoliooptimierung (Grenzraten der Substitution und der Transformation)
    (Skriptum Kap.8.7.1)

1. Übungsaufgabe Skriptum S.108
2. Übungsaufgabe 3, Skriptum S.109
3. Lösen Sie das Optimierungsproblem vom Übungsaufgabe 1 (Skriptum S.109) mit der Substitutionsmethode. Vergleichen Sie Bedingungen 2. Ordnung der Substitutionsmethode und der Methode von Lagrange.
4. Beispiel Skriptum S.111 (auch für die anderen Funktionen, die zu Beginn von Kap.8.5. angegeben sind)
5. Optimierungsprobleme, die zu Beginn von Kap.8.5 angegeben sin
6. Beispiel Kap.8.6: mittels Methode von Lagrange und Substitutionsmethode

• Ökonomische Anwendungen der Methode von Lagrange und Interpretationen (Skriptum, Kap.9.7)
  (Austauschraten, Interpretation des Lagrange-Multiplikators, ökonomische Interpretation quasikonkaver Funktionen)
• Nichtlineare Programmierung (Skriptum, Kap.9):
  konvexes Program, einführende Beispiele (Skriptum, Kap.9.1)
  Eigenschaften konvexer Programme (Skriptum, Kap.9.1)
  Kuhn-Tucker-Bedingungen für Funktionen in einer Variablen (Skriptum, 9.2, S.135-136)

1. Berechnen Sie für die Aufgaben von Kap.8.7 die berandeten Hesse-Matrizen und zeigen Sie, dass es sich bei den berechneten kritischen Punkten um globale Maxima bzw. Minima handelt.
2. Aufgabe Skriptum S.133

• Nichtlineare Programmierung:
  
  • Kuhn-Tucker-Bedingungen, Regularitätsbedingungen (Skriptum, 9.2)
  • Formulierung der KTB, wenn eine NB als Gleichung vorliegt, bzw. wenn keine VZ-Restriktion erfüllt sein muss
    Variablentransformation bei nicht-vorzeichenbeschränkten Variablen in vorzeichenbeschränkte Variablen (Skriptum, Kap.9, S.130)
  • Sattelpunktbedingung (Skriptum, Kap.9, S.130)
• Lineare Programmierung (Skriptum, Kap.10)
  • Definition eines LP (Skriptum, Kap.10, S.170)
  • Darstellung eines LP im Matrixschreibweise (Skriptum, Kap.10.1.6)
  • grafische Lösung (Wiederholung) (Skriptum, Kap.10.1.4)
  • Formulierung der Nebenbedingungen als Gleichungen (Skriptum, Kap.10.1.5)
  • Normalform, Allgemeine Form eines LP (Skriptum, Kap.10.1.5, 10.5.1)
  • Basislösungen, Basisvariablen, Basis (Skriptum, Kap.10.1.5)
  • Enumerationsverfahren (Skriptum, Kap.10.1.5)

1. Übungsaufgaben Skriptum S.140, 141, 142
   (Entschuldigen Sie bitte die Tippfehler in der Aufgabe auf S.142.)
2. Zeigen Sie für Beispiel 1 (Kap. 9.1), dass (x*,λ*) ein Sattelpunkt ist.
   Hinweis: Um die zweite Ungleichung der Sattelpunktbedingung zu zeigen, verwenden Sie die Beziehung x2 = 1 - x1 und zeigen Sie, dass L(x*,λ*) in x = (0.5, 0.5) ein Minimum hat.
3. Lösen Sie das LP aus Kap.10.1.7 mittels Enumerationsverfahren.

• Lineare Programmierung:
  
  • Charakterisierung der Menge der zulässigen und der optimalen Lösungen (inkl. Mehrdeutigkeit der optimalen Lösung), Eckentheorem (Skriptum Kap.10.2)
  • Sonderfälle: keine zulässige Lösung, keine optimale Lösung, mehrere zulässige Lösungen, degenerierte Basislösungen (Skriptum Kap.10.4, Fälle 1-3, nur grafisch)
  • spezielles Maximumsproblem (Skriptum Kap.10.3.1)
  • Simplexmethode (Skriptum Kap.10.3)
  • formaler Aufbau der Simplextableaus (Skriptum, Kap.10.5.2)
  • Interpretation der Simplextableaus (Skriptum Kap.10.6)
  • Mehrdeutigkeit optimaler Lösungen (Skriptum Kap.10.4, Fall 1(a))
  • Dualität, KTB für LP (Skriptum Kap.10.7, bis 10.7.1)

1. Schreiben Sie zu jedem Simplextableau auf S.197 das zugehörige Gleichungssystem an.
2. Geben Sie zu jedem Simplextableau auf S.188 und S.197 folgendes an: Basisvariablen, Basismatrix, Inverse der Basismatrix, Vektoren x_B, c_B.
   Überprüfen Sie die Struktur der Tableaus mit Hilfe der im Tableau auf S.199 angegebenen Ausdrücke.

• Lineare Programmierung
  • Dualität: Beispiel (Skriptum Kap.10.7.1)
  • Dualitätssätze, komplementäre Schlupfbedingungen, Preistheorem (Skriptum Kap.10.7.2)
  • degenerierte Basislösung, unbeschränktes LP (Skriptum Kap.10.4, Fälle 1(b), 2)
  • Ökonomische Interpretation des Duals und der KTB (Skriptum Kap.10.7.3, 9.8)
  • Interpretation eines Computeroutputs (Skriptum Kap.10.8; LINDO)
  • Grundideen der Sensitvitätsanalyse (Skriptum Kap.10.5, nur grafisch)