Die richtige Option

Die Bedeutung der "Black-Scholes-Formel" wurde durch den Ökonomie-Nobelpreis gewürdigt

Walter Schachermayer

Der Zettel. Die Zeitung am BWZ, 26.Ausgabe, 6/1997

 

Alljährlich vergibt die Königliche Schwedische Akademie der Wissenschaften den von der Schwedischen Reichsbank anläßlich ihres 300jährigen Bestehens im Jahr 1969 gestifteten "Nobelpreis" für Wirtschaftswissenschaften. Dieser hochangesehene Preis "in Erinnerung an Alfred Nobel" - von Nobel selbst wurden nur die Preise für Frieden, Literatur, Medizin, Physik und Chemie gestiftet - wurde dieses Jahr an Bob Merton (Harvard) und Myron Scholes (Stanford) vergeben. Damit wurde implizit auch Fischer Black gewürdigt, der wesentlichen Anteil an den gemeinsamen zugrundeliegenden Arbeiten hat, und der bereits 1995 an Krebs gestorben ist (Nobelpreise werden prinzipiell nicht posthum verliehen).

Die Leistung dieser drei mathematischen Ökonomen kann - pointiert gesprochen - in eine einzige Zeile komprimiert werden, nämlich die "Black-Scholes Formel" zur Bewertung von Optionen. Diese im Jahr 1973 von Black und Scholes publizierte Formel, die gerechterweise den Namen "Black-Merton-Scholes Formel" tragen sollte, wie Fischer Black immer wieder betonte, hatte Auswirkungen auf die Finanzmärkte und das Management von Risiko, die kaum überschätzt werden können.

Worum geht es bei dieser Formel, beziehungsweise bei der Theorie der Options-Bewertung, die hinter dieser Formel steht? Eine zentrale Rolle spielt der Begriff der Arbitrage. Um diesen Begriff zu motivieren, betrachten wir ein ganz einfaches Beispiel: Wenn in Wien der Dollar mit 12,50 ATS pro US $ gehandelt wird, so wird zum gleichen Zeitpunkt in New York der Preis des Schillings fast genau gleich 8 Cents pro ATS sein: falls nämlich der Preis beispielsweise 8,001 Cents pro ATS beträgt, so werden sofort ArbitrageurInnen auf den Plan treten, die gleichzeitig in New York ATS gegen US $ und in Wien US $ gegen ATS tauschen und damit einen risikolosen Gewinn erzielen. Falls umgekehrt der Preis in New York 7,999 Cents pro ATS beträgt, wird man/frau die Transaktionen in umgekehrter Richtung durchführen und ebenfalls einen risikolosen Gewinn erzielen. Bei einem umgetauschten Volumen von beispielsweise je 100 Mio. ATS (eine vergleichsweise moderate Summe im globalen Devisenhandel, bei der sich die Transaktionen innnerhalb von Sekunden durchführen lassen) beträgt der Arbitrage-Gewinn bei den angenommenen Zahlenwerten immerhin 12.500 ATS (nachrechnen!).

Ob man dieses reibungslose Funktionieren der internationalen Finanzmärkte gut oder schlecht findet, ist eine andere Frage, die wir hier nicht analysieren wollen: wenn sich der von J. Tobin (Ökonomie-Nobelpreis 1981) gemachte Vorschlag durchsetzen ließe, durch eine globale Umsatzsteuer auf Finanztransaktionen (in der Größenordnung eines Bruchteils eines Promilles) etwas Sand in das gut geölte Getriebe zu werfen, würde sich die Situation dramatisch verändern.

Aber zurück zum Begriff der Arbitrage: sie werden vielleicht einwenden, daß schließlich jeder Schuhhändler, der ein Paar Schuhe um 300 ATS einkauft und später um 600 ATS verkauft, auch so etwas ähnliches wie Arbitrage macht; der Unterschied besteht aber darin, daß die Leistung des Schuhhändlers darin besteht, den Kunden zu finden, den Lieferanten zu kontaktieren, die Schuhe zu lagern etc. etc. Im Gegensatz dazu sind Börsen so konstruiert, daß die Preise für alle Marktteilnehmer transparent sind und große Volumina mit geringen Transaktionskosten abgewickelt werden können. In unserem Devisen-Beispiel werden der ArbitrageurIn zwar wegen der Transaktionskosten nicht die vollen 12.500 ATS als Arbitrage-Gewinn verbleiben, aber für die "big players" ist die relative Bedeutung der Transaktionskosten außerordentlich niedrig. Bei der mathematischen Modellierung des Geschehens auf den Finanzmärkten haben Black, Merton und Scholes daher - in erster Näherung - die Transaktionskosten ignoriert und das "No-Arbitrage-Prinzip" zugrunde gelegt: Im mathematischen Modell eines Finanzmarktes soll es keine Arbitragemöglichkeiten geben (das plausible Argument dahinter: sobald sich auch nur geringe Arbitrage-Möglichkeiten ergeben, treten wie im vorangehenden Beispiel ArbitrageurInnen auf den Plan, die - gerade dadurch, daß sie diese Arbitragemöglichkeiten ausnutzen - diese rasch zum Verschwinden bringen). Bei liquiden Finanzmärkten - z.B. Devisen-Märkten, aber auch großen Aktien- oder Waren-Märkten - kommt die Realität diesem mathematischen Postulat sehr nahe.

Dieses No-Arbitrage Prinzip haben Black, Merton und Scholes auf Termin-Märkte angewandt: ein typisches Beispiel ist die Bewertung von Optionen: eine Option (genauer: eine europäische Call-Option) ist das Recht (aber nicht die Pflicht) zu einem bestimmten Zeitpunkt T eine Einheit eines "underlying asset" (z.B. eine EVN-Aktie) zu einem fixierten Ausübungs-Preis K zu kaufen. Solche Optionen werden an der Börse gehandelt und haben dort ebenfalls einen Preis. Nehmen wir ein konkretes Beispiel: Ich entnehme der heutigen Tageszeitung (z.B. Standard oder Presse vom 13. November 1997), daß am 12. November 1997 eine EVN-Option mit Verfallstag T = 19. Dezember 1997 und Ausübungspreis K = 1.500 ATS zum Preis von 40 ATS gehandelt wurde. Der Preis für eine EVN-Aktie wurde am 12. November 1997 mit 1.465 ATS gelistet.

Nehmen wir an, Sie kaufen am 12. November 1997 diese Option zum Preis von 40 ATS. Der Wert der Option am 19. Dezember 1997 (dem Verfallstag) wird vom Kurs der EVN-Aktie an diesem Tag abhängen: wenn dieser unter 1.500 ATS liegt, ist die Option schlicht und einfach wertlos und Sie haben die investierten 40 ATS zur Gänze verloren; wenn der Preis der EVN-Aktie aber auf 1.900 ATS gestiegen sein sollte, beträgt der Wert der Option die Differenz zwischen diesem Kurs und dem Ausübungspreis von 1.500 ATS, ihr Wert hat sich also verzehnfacht.

Die Frage, die sich Black, Merton und Scholes Ende der 60-er Jahre stellten, war: Kann man irgend etwas Intelligentes über den Preis einer Option aussagen? Die Praktiker verwendeten damals Begriffe wie "Hebel", "Prämie" etc., von denen sie gewisse Daumen-Regeln zur Bewertung von Optionen ableiteten (zum Teil tun sie das noch immer, auch wenn dies aus heutiger Sicht etwas vorsintflutlich erscheint).

Die entscheidende Idee von Black, Merton und Scholes bestand darin, ein Arbitrage-Argument zur Bewertung von Optionen zu verwenden: wie müßte denn eine Funktion f(S) (falls es so eine Funktion gibt), die den Wert der oben beschriebenen EVN-Option am 12. November 1997 in Abhängigkeit des Preises S der EVN-Aktie angibt, aussehen? Bezeichnen wir mit "Delta" ihre Ableitung f '(S) beim aktuellen Kurs von S = 1.465 ATS und nehmen wir beispielsweise an, daß dieses "Delta" den Wert 1/2 hat: Das heißt also, wenn am 12. November 1997 der Kurs der Aktie um 1 S steigt (bzw. fällt), steigt (bzw. fällt) der Kurs der Option um 50 Groschen; dieses Verhältnis 1:2 gilt im Sinn der Differentialrechnung näherungsweise für "kleine" Schwankungen des Aktienkurses.

Konkret: Wenn am 12. November 1997 der Kurs der EVN Aktie von S = 1.465 auf S=1.466 steigt, so müßte der Preis der Option von f(S) = 40 auf f(S) = 40,50 steigen; wenn umgekehrt der Aktienpreis von S = 1.465 auf S = 1.464 fällt, so müßte der Optionspreis von f(S) = 40 auf f(S) = 39,50 sinken.

Das bedeutet aber, daß man/frau sich durch geschickte Wahl eines Portefeuilles gegen das Risiko von Kurs-Schwankungen der EVN-Aktie absichern ("hedgen") kann: eine ArbitrageurIn, die eine EVN-Aktie kauft und gleichzeitig zwei Optionen verkauft ist gegen - zumindest kleine - Kursschwankungen "immunisiert": bei fallendem Aktien-Kurs wird der Verlust aus der Aktien-Position durch den Gewinn aus der Optionen-Position kompensiert und bei steigendem Aktienkurs gerade umgekehrt.

Die Veranlagung in ein in dieser Form zusammengestelltes Portefeuille ist daher - zumindest im mathematischen Modell - risikolos und sollte daher dieselbe Rendite erwirtschaften wie eine risikolose Veranlagung zu fix vereinbarten Zinsen. Falls diese Gleichheit verletzt wäre, könnte man - zwar in etwas komplizierterer Form als im eingangs geschilderten Devisen-Beispiel, aber im Grund nach derselben Logik - Arbitrage-Gewinne machen. Die gefundene Beziehung zwischen der Verzinsung des Portefeuilles und der risikolosen Verzinsung führt daher auf eine Gleichung, die die gesuchte Funktion f(S) erfüllen muß. Mit Hilfe von mathematischen Methoden, die etwas über den Stoff der am BWZ angebotenen Mathematik-Grundvorlesungen hinausgehen, aber doch noch immer relativ elementar sind, kann diese Gleichung gelöst werden, und man/frau erhält eine explizite "Formel" für die Funktion f(S), eben die berühmte "Black-Scholes-Formel" (siehe etwa [J. Hull: Options, Futures and other Derivative Securities, Sect. X] oder die Vorlesung "Stochastische Finanzmathematik").

Diese Formel - vor allem aber die Theorie, die dahintersteckt - hat in den vergangenen 20 Jahren eine Bedeutung gewonnen, die weit über die Frage der Bewertung von Optionen hinausgeht: beispielsweise müssen zur Unterlegung mit Eigenkapital von Risken aus derivativen Finanztiteln aufgrund neuer Bilanzierungs-Regelungen für Banken in zunehmendem Maß mathematische Modelle verwendet werden. Der gesamte Zugang zur Beurteilung von Risken im Banken- und Versicherungs-Geschäft wird mehr und mehr von mathematischem Denken geprägt.

Die Black-Scholes-Formel ist keineswegs "idioten-sicher" und ihre Verwendung als "black-box" ohne Verständnis der Theorie kann leicht ins Auge gehen. Die unkritische Implementierung dieser Formel in computerisierte Börsenhandelsstrategien war eine der wesentlichen Ursachen für den Börsen-Crash 1987. Die Formel funktioniert leider nicht gut bei großen Kurs-Schwankungen, wie wir sie gerade in den vergangenen Wochen erlebt haben. Um dies zu verstehen und - allgemeiner - ein tieferes Verständnis dafür zu bekommen, in welchen Situationen man/frau der Formel vertrauen darf und in welchen Vorsicht geboten ist, ist es unerläßlich, die - hier nur skizzenhaft dargestellte - Theorie dahinter zu verstehen; das Werkzeug dafür ist die Wahrscheinlichkeitstheorie, genauer: die Theorie der stochastischen Prozesse.

Ich möchte nicht den Eindruck erwecken, daß 1973 mit der Publikation der Formel eine endgültige Antwort auf alle Fragen gegeben wurde, die im Zusammenhang mit der Bewertung und Absicherung von derivativen Finanztiteln (wie z.B. Optionen) entstehen: Sowohl an den Universitäten wie auch in den Forschungs-Abteilungen der großen Broker-Häuser und Banken wird intensiv und in ständig steigendem Maß an der Weiterentwicklung der von Black, Merton und Scholes begonnenen Theorie und ihrer praktischen Implementierung gearbeitet.

Die Gewinner des diesjährigen Nobel-Preis haben es übrigens auch verstanden, ihre Kenntnis der Funktionsweise von Finanzmärkten für ihre persönlichen Finanztransaktionen vorteilhaft zu nutzen. Ähnlich wie vor 70 Jahren John M. Keynes können die Nobelpreisträger auf die kecke Reporterfrage: "If you are so smart, why aren't you rich?" gelassen antworten: "I am rich." Und das nicht erst seit dem Erhalt des Nobel-Preisgeldes.