1.4 Aufgaben zu Kapitel 1

ÜBUNGSBEISPIELE:

1.1 Entropie und Irreversibilität: (a) Zwei Wärmespeicher haben die Temperaturen $T_{1}$ und $T_{2}>T_{1}$. Sie werden durch einen Metallstab verbunden, der pro Zeiteinheit die Wärmemenge $Q$ von 2 nach 1 leitet. Zeigen Sie an Hand der Entropiebilanz, daß dieser Vorgang irreversibel ist.

(b) Berechnen Sie den Entropiezuwachs pro Sekunde mit den konkreten Zahlenwerten $T_{1}=300K$, $T_{2}=320K$ und $Q=10 J$.

1.2 Reversible Expansion: Rechnen Sie die Entropiebilanz für das in der Vorlesung gezeigte Experiment nach. Schätzen Sie die dazu nötigen Angaben selbst ab.

1.3 Gaußverteilung: Rufen Sie einen Zufallszahlengenerator, der Zahlen $\xi_{i}$ aus einer Gleichverteilung in $[0,1]$ liefert, $5n$-mal auf; addieren Sie je 5 Zahlen $\xi_{i}$ zu einer neuen Zufallszahl $\eta_{j}$ ($j=1, \dots, n$). Erstellen Sie ein Häufigkeitsdiagramm für die Werte von $\eta_{j}$.

1.4 Binomialverteilung: Schlagen Sie selbst einen Elementarversuch mit gegebenem $p$ vor. Führen Sie den Versuch $n$-mal durch und erstellen Sie ein empirisches Diagramm zum Vergleich mit 1.29.

1.5 Dichteschwankungen: Luft ist schon unter Normalbedingungen annähernd ideal; umso mehr kann man bei niedrigen Drücken Idealität annehmen. Geben Sie die mittlere Anzahl der Moleküle ($N_{2}$ und $O_{2}$) an, die bei $10 Pa$ in einem Kubus mit der Seitenlänge einer Lichtwellenlänge ( $\approx 6 \cdot 10^{-7} m$) anzutreffen sind. Wie groß ist die Streuung der Molekülzahl?

1.6 Multinomialverteilung: Ein Volumen $V$ sei in $m=10$ gleich große Zellen unterteilt. Die $N=1000$ Teilchen eines idealen Gases können sich beliebig auf die Zellen verteilen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in einer ,,Momentaufnahme`` des Gasvolumens eine ganz bestimmte, von Ihnen gewählte Aufteilung $\{ N_{1},N_{2}, \dots , N_{10}\}$ realisiert ist?
b) Überzeugen Sie sich davon, daß die Aufteilung mit der größten Wahrscheinlichkeit durch $N_{i}= N/m = 100$ gegeben ist.

1.7 Transformation einer Verteilungsdichte: Wiederholen Sie die Rechnung aus Beispiel 3 zur Transformation von Verteilungsdichten für den 2-dimensionalen Fall, also $\vec{v} \equiv \{ v_{x}, v_{y}\}$ und $\vec{w} \equiv \{v, \phi \}$. Zeichnen Sie die Verteilungsdichte $p_{2D}(v)$ auf.




DENKBARE PRÜFUNGSFRAGEN ZU KAPITEL 1:

1.1 Thermodynamische Begriffe:
- Wie kann man aus der Entropiebilanz die Reversibilität bzw. Irreversibilität eines Vorganges erschließen? Rechnen Sie ein konkretes Beispiel vor. - Beschreiben Sie den Vorgang der thermischen Wechselwirkung zwischen zwei Körpern. Wann kommt der Energiefluß zum Stillstand? - Welches thermodynamische Potential verwendet man zur Beschreibung von isotherm-isochoren Systemen?

1.2 Modellsysteme:
- Beschreiben Sie 2-3 Modellsysteme der Statistischen Mechanik.
- Welche Angaben sind nötig, um den augenblicklichen Zustand eines klassischen Gases aus $N$ Teilchen zu beschreiben?
- Welche Angaben braucht man zur vollständigen Beschreibung eines idealen Gases in der Quantenmechanik?

1.3 Statistische Termini:
- Erklären Sie die Begriffe ,,Verteilungsfunktion`` und ,,Verteilungsdichte``; geben Sie zwei einfache Beispiele an.
- Was versteht man unter den Momenten einer Verteilungsdichte? Geben Sie ein physikalisch relevantes Beispiel an.

1.4 Gleiche a priori-Wahrscheinlichkeit: Was versteht man unter diesem Begriff, und was bedeutet er für die Statistische Mechanik?