Ein ,,Strahl`` oder ,,Massenpunkt`` bewegt sich in einem
2- oder 3-dimensionalen Gefäß mit reflektierenden bzw. ideal elastischen
Wänden. Die im übrigen ebenen Wände sind mit Unebenheiten
in Form von Halbkreisen bzw. Halbkugeln versehen, wodurch eine
Durchmischung der Flugrichtungen erreicht wird. Für gewisse Abmessungen
des Gefäßes und der Halbkugeln ist ein solches System
chaotisch, d.h. die Freiheitsgrade der Bewegung,
,
weisen eine gleichförmige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf, wobei
gilt.
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Simulation: Sinai-Billard in 2 Dimensionen
- Darstellung der Teilchenbahn sowie der Häufigkeitsdiagramme für die Flugrichtung und die -Geschwindigkeit . - Demonstration von ,,Chaos`` durch gleichzeitiges Starten vieler Trajektorien mit nahezu gleichen Anfangsrichtungen ( bald Gleichverteilung auf der Kreislinie ). [Code: Sinai] |
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Simulation: Ein anderes Sinai-Billard - Ideales Einteilchen-Gas in einem Käfig mit ,,Randomizern`` - Darstellung der Teilchenbahn sowie der Häufigkeitsdiagramme für die Flugrichtung und die -Geschwindigkeit . [Code: VarSinai] |
Der augenblickliche Zustand eines klassisch-mechanischen Systems aus
Massenpunkten wäre durch die Angabe aller Teilchenörter
und -geschwindigkeiten
vollständig bestimmt.
Die im System enthaltene Energie ist zur Gänze kinetische Energie, und
ist - bei einem abgeschlossenen System mit ideal elastischen Wänden -
konstant.
(1.9) |
In zwei Dimensionen - der Käfig sei nun quadratisch mit
Seitenlänge - gilt für die Energien, mit
,
(1.10) |
Wenn sich statt eines einzigen nun Teilchen in dem Käfig befinden,
schreibt man z.B. in drei Dimensionen
Hinweis: Beim Anschreiben der Summe 1.11 haben wir nur
vorausgesetzt,
daß jedes der Teilchen einen Zustand
aufweist. Die Frage, ob jede
Kombination von Einzelteilchenzuständen
tatsächlich auftreten kann,
oder ob gewisse
einander ausschließen
(Pauli-Verbot bei Fermionen), ist hier noch nicht berührt worden.
Für genügend geringe Dichten ähnelt dieses Modellsystem natürlich einem klassischen idealen Gas. Da das Modell einen - wenn auch vereinfachten - Mechanismus für den Austausch von Impuls und Energie beinhaltet, stellt es ein brauchbares Referenzsystem für die kinetische Theorie dar, deren Gegenstand ja der Transport von Energie und Impuls in einem statistischen System ist. Die betreffenden Ergebnisse lassen sich in erster Näherung auch auf dichtere Gase und Flüssigkeiten anwenden.
Besondere (auch historische) Bedeutung hat das HK-Modell für die
Simulation statistisch-mechanischer Systeme, z. B. von Flüssigkeiten.
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Simulation: Harte Scheiben - ,,Gas``aus harten Scheiben in einem quadratischen Käfig mit reflektierenden Wänden. Zur Erzeugung von Chaos (d. i. gleichmäßige Durchmusterung aller möglichen Bewegungszustände sämtlicher Teilchen) sind die Wände mit ,,Randomizern``- reflektierenden Halbkreisen - versehen. Darstellung der Bewegung von Teilchen. [Code: Harddisks] - Darstellung der Teilchenbahn sowie der Häufigkeitsdiagramme für die Flugrichtung und die -Geschwindigkeit . [Code: Harddisks] |
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Simulation: Harte Kugeln - ,,Gas``aus harten Kugeln in einem kubischen Käfig mit reflektierenden Wänden. Zur Erzeugung von Chaos (d. i. gleichmäßige Durchmusterung aller möglichen Bewegungszustände sämtlicher Teilchen) sind die Wände mit ,,Randomizern``- reflektierenden Halbkugeln - versehen. Darstellung der Bewegung von Teilchen. - Darstellung der Teilchenbahn sowie der Häufigkeitsdiagramme für die Flugrichtung und die -Geschwindigkeit . [Code: Hspheres] |
An die Stelle der harten Stöße treten also nun abstoßende
Kräfte bei geringen Paarabständen; dazu kommt eine schwache Anziehung
bei mittleren Abständen. Das Modell ist ziemlich realistisch; die
Wechselwirkung zwischen zwei Edelgasatomen ist tatsächlich (fast) nur vom
Paarabstand abhängig, und zwar in der angegebenen Weise.
Bei der Simulation von Fluiden bedient man sich meist der sogenannten
,,periodischen Randbedingungen`` anstelle von reflektierenden
Gefäßwänden. Dabei wird z.B. ein Teilchen, das die (quadratische,
kubische, ...) Zelle nach rechts verläßt, von links her mit identischer
Geschwindigkeit wieder zugeführt. Damit sind Teilchenzahl, Energie
und Impuls jederzeit erhalten, und die Teilchen befinden sich
immer ,,unter ihresgleichen`` - und nicht in der Nähe einer
Wand. Das Innere einer makroskopischen Probe wird auf diese Weise besser
wiedergegeben als durch die Einführung von Wänden.
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Simulation: Lennard-Jones Fluid Lennard-Jones-Teilchen in 2D-Box mit periodischen Randbedingungen. [Code: LJones] |
Die Verallgemeinerung des Ausdrucks 1.13 für bzw. Dimensionen ist trivial.
Die weitere Behandlung dieses Modells wird wesentlich einfacher, wenn wir
annehmen, daß jedes Teilchen unabhängig von allen anderen in je seinem
Oszillatorpotential schwingt:
. Beim Übergang zu 2 oder 3
Dimensionen führt man die weitere Vereinfachung ein, daß die individuellen
Oszillatorpotentiale isotrop ,,verschmiert`` sein sollen:
. Das so
definierte Modell wird in der Statistischen Mechanik der Festkörper als
,,Einstein-Modell`` bezeichnet.
Wenn die Spins nicht untereinander wechselwirken, lassen sich die - diskreten - Zustände eines solchen Systems besonders leicht abzählen; solche Modelle dienen daher oft zur Demonstration statistischer (kombinatorischer) Tatbestände (Reif: Berkeley Lectures). Die Energie des Systems muß in diesem Fall durch die zusätzliche Annahme definiert werden, wobei ein äußeres Feld ist.
Physikalisch wichtiger sind Modelle mit Wechselwirkung, bei denen z.B. eine Parallelstellung benachbarter Spins energetisch bevorzugt ist (Ising-Modell). Die Simulation solcher Systeme mit Hilfe stochastischer Verfahren (Monte Carlo-Methode) hat viel zur Aufklärung der Eigenschaften von Ferromagnetika und -elektrika beigetragen.