Beispiele zur Wellengleichung


Eine Saite der Länge L=1 m und der Masse m = 10-3 kg sei mit einer Spannung von F = 10 N an beiden Enden fest eingespannt. Unter idealisierten Bedingungen wird die Bewegung der Saite durch die 1D-Wellengleichung
 2 u
t2
   =  c2   2 u
x2
(1)
beschrieben, wobei u = u(x,t) die Auslenkung der Saite am Ort x zur Zeit t angibt und c = Ö{F/ (m/L)} die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Störung (``Welle'') darstellt. Bestimme mit dem expliziten Verfahren 2. Ordnung eine Näherungslösung von (1) für die folgenden Anfangs- und Randbedingungen und stelle die Ergebnisse graphisch dar.


  1. Nach ``links'' laufender Wellenzug:
    u(x,t)
    =
    ì
    ï
    í
    ï
    î
    0
       :    x=0
    e-100 (x+ct-0.5)2
       :    0 < x < 1
    0
       :    x=1
     u(x,t)
    t
    =
    -200 c (x+ct-0.5) e-100 (x+ct-0.5)2     :     0 < x < 1

    Damit sind Anfangsauslenkung f(x) und Anfangsgeschwindigkeit g(x) gegeben durch f(x)=u(x,0) und g(x)=ut(x,0).

  2. Saite in Ruhe, Anfangsauslenkung vorgegeben:
    u(x,0)
    =
    f(x) = ì
    ï
    í
    ï
    î
    0
       :    x=0
    e-100 (x-0.5)2
       :    0 < x < 1
    0
       :    x=1
    ut(x,0)
    =
    g(x) = 0     :     0 < x < 1

  3. Interferenz zweier entgegenlaufender Wellenzüge:
    u(x,0)
    =
    ì
    ï
    í
    ï
    î
    0
       :    x=0
    a e-100 (x-0.75)2 + b e-100 (x-0.25)2
       :    0 < x < 1
    0
       :    x=1
    ut(x,0)
    =
    a { -200 c (x-0.75) e-100 (x-0.75)2} +
    b { + 200 c (x-0.25) e-100 (x-0.25)2}     :     0 < x < 1

  4. Implementiere die Randbedingung für ein freies Ende bei x=0.

    Anleitung: Die Vertikalkomponente der Kraft auf das linke Ende, Fy = - F(0)  sina » -F(0)  tana = -F(0) (u / x) |x=0, wobei a der Winkel zwischen F und der x-Achse ist, verschwindet für ein freies Ende:
     u(x,t)
    x
    		   ê
    ê

    x=0 
    		   =  0          "t ³ 0.



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On 26 Apr 2002, 17:30.