Beispiele zur Monte Carlo-Simulation


  1. Es sei z=x+y die Summe zweier statistisch unabhängiger, auf dem Intervall [0,1) gleichverteilter Zufallsvariablen. Erzeuge eine Stichprobe {z1,z2,¼,zn} und berechne Stichprobenmittelwert, Varianz sowie ein Histogramm der Wahrscheinlichkeitsdichte von z.
  2. Symmetrische Irrfahrt (Random Walk) in einer Dimension: Ein Random Walker startet bei x0=0 und führt n Schritte der Länge Dx=xi+1-xi=±1 aus. Bei jedem Schritt sei die Wahrscheinlichkeit, nach links oder rechts zu gehen, jeweils 1/2. Führe eine größere Anzahl von Random Walks durch und bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung, daß nach Ende der Irrfahrt der Random Walk genau bei xn=0,±1,±2,¼,±n endet. Bestimme auch den im quadratischen Mittel zurückgelegten Weg áxn2ñ.
  3. Benütze die Transformationsmethode, um eine Stichprobe aus der Cauchy-Verteilung
    f(x) = 1
    p
    		   1
    1+x2
    		        -¥ < x < ¥
    zu erzeugen. Überprüfe die Implementation durch Vergleich des aus der Stichprobe gewonnenen Histogramms mit der vorgegebenen Verteilung.
  4. Es sei die (unnormierte) Wahrscheinlichkeitsdichte
    f(x) = x(1-x)
    auf dem Intervall [0,1] gegeben. Um nach der Rejection-Methode eine Stichprobe aus dieser Verteilung zu erzeugen, sucht man eine obere Schranke A, für die gilt f(x) £ A (hier also z.B. A=1/4). Man würfelt nun Punktepaare (x,y) mit x=x und y=Ah (wo x und h unabhängige gleichverteile Zufallsvariablen aus [0,1) sind) und verwirft alle Punkte, für die y > f(x) ist. Die x-Koordinaten der verbleibenden Punktepaare bilden eine Stichprobe aus f(x). Warum?
    Erzeuge eine hinreichend große Stichprobe und verifziere an Hand des Histogramms die Korrektheit der Methode.


File translated from TEX by TTH, version 3.59.
On 5 Oct 2004, 14:07.