Beispiele zu nichtlinearen Gleichungen



  1. Approximiere mit dem Bisektionsverfahren die Wurzel x der Gleichung
    x3 + 4x2 - 10  = 0
    im Intervall [1,2] auf ±10-4 genau.


  2. Die Gleichung aus Beispiel 1 kann auf verschiedene Arten in ein äquivalentes Fixpunktproblem umgeformt werden, z.B.:
    x = j1(x) = x - x3 - 4x2 + 10

    x = j2(x) =  1
    2
    Ö
     
    10 - x3
     
    Welche der beiden Iterationsfunktionen liefert eine konvergente Iterationsfolge für x?


  3. Die transzendente Gleichung
    x = tanx
    hat die Lösung x=0, darüber hinaus aber noch unendlich viele weitere Lösungen. Bestimme mit der Methode der Fixpunktiteration die kleinste positive Lösung auf ±10-4 genau.
    Anleitung: Die Funktion j(x) : = tanx ist wegen |j¢(x)| = |1/cos2 x| ³ 1 als Iterationsfunktion nicht geeignet. Auf ]p/2, 3p/2[ ist aber die Gleichung x = tanx gleichbedeutend mit x = arctan1 x : = p+ arctanx. Man iteriert also nicht j = tan, sondern die Umkehrabbildung j-1 = p+ arctan.
    xtanx.png


  4. Bestimme die kleinste positive Lösung der transzendenten Gleichung
    cosx  coshx + 1  = 0
    mit dem Newton-Verfahren auf ±10-7 genau (x0 = 1.8) .


  5. Mehrfache Nullstellen: Die Funktion
    f(x)  = exp(x) - x - 1
    hat in x = 0 eine zweifache Nullstelle, da f(x) = 0, f¢(x)=0, aber f¢¢(x) = 1 ¹ 0. Approximiere die Lösung x von f(x) = 0 mit dem Newton-Verfahren auf ±10-5 genau (x0 = 1) und zeige, daß das Newton-Verfahren in diesem Fall nicht mehr quadratisch konvergiert.


File translated from TEX by TTH, version 3.06.
On 19 Jun 2003, 20:55.