Beispiele zu Mathematica

1. Berechne mit Mathematica :
   (a) 273¹²
   (b) Ö{225/ 729}
   (c) 144^1/4
   (d) 2⁴⁰
   (e) (2.)⁴⁰
   (f) (1/2)⁴⁰
   (g) (0.5)⁴⁰
2. Wie unterscheiden sich die Ergebnisse von N[Sqrt[2]] und N[Sqrt[2],40] ?
3. Berechne p auf 100 Stellen genau.
4. Berechne:
   (a) sin(p/4)
   (b) arctan(0.6)
   (c) |-3.4|
   (d) 100 !
5. Multipliziere folgende Terme aus:
   (a) x ( 3x + 7y) + 2 x²
   (b) (x + 2 y) (x - 3)²
6. Faktorisiere die Terme:
   (a) x³ + 2 x² - 3 x
   (b) a x² + a y + b x² + by
   (c) x⁶ - 1
7. Wende auf den Bruchterm
   

   x2 - 2x 2(x-1) +  x2-1 x2-x

   nacheinander die Anweisungen Cancel[], Together[] und Apart[] an.
8. Werte den Ausdruck y = 2 x + x² unter Anwendung der Ersetzungsregel x -> 3 aus. Ersetze x auch durch 2a - 1.
9. Ersetze in dem Ausdruck a² + b² + c die Variable a durch 2, die Variable b durch x und c durch 2y.
10. Definiere die Listen liste1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } und liste2 = { a, b, 3, 4, {e, c^2 - 3*c}, (x + 2*y)^2 } und berechne liste1 + 3, 5 * liste1, Sqrt[liste1], Expand[liste2], liste1 + liste2, sowie liste1 * liste2.
11. (a) Erstelle eine Liste mit den ersten zehn Kubikzahlen.
    (b) Erstelle eine Liste mit den Quadratwurzeln aus den Zahlen 1.0, 1.2, ¼, 2.0 .
    (c) Erstelle eine Liste mit den Potenzen j^k, wobei j von 2 - 4 und k von 1 - 5 laufen.
12. Bestimme für die Matrix
    

    A   =   æ ç ç ç è 1 -1 0 0 1 1 0 0 -1 ö ÷ ÷ ÷ ø

    A^T, A^-1, det(A), Tr(A), A³, å_k=0^¥ [(A^k)/k!]  , sowie die Eigenwerte und Eigenvektoren.
13. Berechne folgende Summen:
    (a) å_k=1ⁿ k³
    (b) å_k=1^¥ [ 1/(k²)]
    (c) å_k=0^¥ x^k
14. Berechne folgende Grenzwerte:
    (a) lim_{x ® ¥} [(Ö{9x²+2})/(3-4x)]
    (b) lim_{x ® 3⁺} [(2x²)/(9-x²)]
    (c) lim_{x ® 0^-} [ sinx/x]
15. Stelle die 2D-Kurve mit der Parameterdarstellung
    

    (x(t),y(t))   =  ( 4 cos(-11t/4) + 7 cost  ,  4 sin(-11t/4) + 7 sint  )     ,

    0 £ t < 8 p, mit Hilfe der Funktion ParametricPlot[] ohne Koordinatenachsen mit verschiedenen Linienstärken und Farben graphisch dar. Was bewirkt die Option AspectRatio -> 1 ?
16. Stelle die Funktion f(x,y) = sin(x  y), -p £ x, y £ p graphisch dar. Untersuche die Wirkung der Plot3D[]-Optionen PlotPoints -> 40 und Mesh -> False.
17. Berechne die Ableitung folgender Funktionen:
    (a) y(x) = sin( e^x2)
    (b) y(x) = e^x sinx
    (c) Was liefert die Auswertung von D[ f[x]/g[x], x ] // Together ?
18. Berechne folgende Integrale:
    (a) ò₀¹ [ 4/(1+x²)]  dx
    (b) ò[ x/(a³ + x³)]  dx
    (c) Überprüfe das letzte Resultat durch Differenzieren!
    (d) ò₀¹ tan(cosx)  dx
19. Berechne für f(x) = (1+x⁴)^1/3 die Potenzreihe um den Entwicklungspunkt x = 0 bis zur Termen der Ordnung x⁸.
20. Ermittle für den Integralsinus ,
    

    Si (x)   =   ó õ x 0   sint t  dt   ,

    eine Potenzreihendarstellung. Stelle das Ergebnis graphisch dar und vergleiche es mit der Mathematica -internen Funktion SinIntegral[].
21. Ermittle die symbolische Fourierreihe der Ordnung 4 der Funktion f(x)=x, -1/2 < x < 1/2, mit Hilfe der Funktion FourierTrigSeries[] aus dem Paket Calculus`FourierTransform`. Stelle das Ergebnis zusammen mit f graphisch dar.
22. Löse folgende Differentialgleichung symbolisch:
    

    d2 y dx2 - 6  d y dx + 13 y = ex cosx

23. Bestimme die numerische Lösung von
    

    d x(t) d t = v(t)  d v(t) d t = [1 - x2(t)]  v(t) - x(t)   ,

    0 £ t £ 7 p, für die Anfangsbedingungen (x(0), v(0)) = (-4,4), (-3,4), (-2,4), (-1,4), (1,-4), (2,-4), (3,-4), (4,-4), (0.1,0), (0.6,0). Stelle die Lösungen in der Phasenebene {x(t),v(t)} mit Hilfe von ParametricPlot[] graphisch dar. Stelle auch x(t) und v(t) jeweils als Funktion von t graphisch dar.
24. Löse symbolisch:
    (a) t² + 4 t - 8 = 0
    (b) Ö{x + 2} + 4 = x
25. Löse numerisch:
    x⁵ - 3 x⁴ + 2 x³ + x = 4
26. Löse folgendes Gleichungssystem auf zwei verschiedene Arten:
    

    x + y = z 10 - 6x - 2z = 0 6x - 24 - 4 y = 0

27. Bestimme näherungsweise die positive Lösung der transzendenten Gleichung
    

    sinx = x2   .

    Ermittle für FindRoot[] einen geeigneten Startwert aus der graphischen Darstellung der Funktionen sinx und x².

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On 24 Jun 2002, 18:54.