Löse, falls möglich, folgende Linearsysteme mit dem
Gaußschen Verfahren:
æ ç ç ç
ç ç è
1
1
0
3
2
1
-1
1
3
-1
-1
2
-1
2
3
-1
ö ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ø
·
æ ç ç ç
ç ç è
x1
x2
x3
x4
ö ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ø
=
æ ç ç ç
ç ç è
4
1
-3
4
ö ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ø
æ ç ç ç
ç ç è
1
-1
2
-1
2
-2
3
-3
1
1
1
0
1
-1
4
3
ö ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ø
·
æ ç ç ç
ç ç è
x1
x2
x3
x4
ö ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ø
=
æ ç ç ç
ç ç è
-8
-20
-2
4
ö ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ø
æ ç ç
ç è
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ö ÷ ÷
÷ ø
·
æ ç ç
ç è
x1
x2
x3
ö ÷ ÷
÷ ø
=
æ ç ç
ç è
6
15
24
ö ÷ ÷
÷ ø
Für welche Systeme ist das Gaußsche Eliminationsverfahren ohne
Spaltenpivotsuche (ohne Zeilenvertauschungen) durchführbar?
Welche Systeme sind eindeutig lösbar?
Die Hilbertmatrix Hn = (hij) = ([ 1/(i+j-1)])
ist ein bekanntes Beispiel für eine schlecht konditionierte Matrix.
Untersuche das Gleichungssystem
H4 ·x = b mit
bi = åj=14 hij, bei dem
die Eingangsdaten nur mit einer Genauigkeit von 4 Dezimalstellen
vorliegen,
æ ç ç ç
ç ç è
1.0
0.5
0.3333
0.25
0.5
0.3333
0.25
0.2
0.3333
0.25
0.2
0.1667
0.25
0.2
0.1667
0.1429
ö ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ø
·
æ ç ç ç
ç ç è
x1
x2
x3
x4
ö ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ø
=
æ ç ç ç
ç ç è
2.0833
1.2833
0.95
0.7595
ö ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ø
,
und vergleiche die numerische Lösung mit der exakten Lösung
x = (1, ¼, 1)T. Wie ändert sich die numerische
Lösung, wenn die Eingangsdaten in double vorliegen?
Was läßt sich in diesem Fall über die numerische Lösung von
H20 ·x = b aussagen?
Modifiziere das Programm lineq.c so, daß in der Matrix
A eine LU-Zerlegung der ursprünglichen Koeffizientenmatrix
zurückgegeben wird. Zeige, daß die Matrix A
aus Beispiel 1(a) eine Dreieckszerlegung der Form
A = L ·U besitzt mit
L =
æ ç ç ç
ç ç è
1
0
0
0
2
1
0
0
3
4
1
0
-1
-3
0
1
ö ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ø
, U =
æ ç ç ç
ç ç è
1
1
0
3
0
-1
-1
-5
0
0
3
13
0
0
0
-13
ö ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ø
.
Verwende diese Zerlegung von A, um das Gleichungssystem
A ·xj = bj
für mehrere rechte Seiten bj zu lösen.
Beispiel: Für die Einheitsvektoren als rechte Seiten,
b1 =
æ ç ç ç
ç ç è
1
0
0
0
ö ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ø
, b2 =
æ ç ç ç
ç ç è
0
1
0
0
ö ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ø
, b3 =
æ ç ç ç
ç ç è
0
0
1
0
ö ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ø
, b4 =
æ ç ç ç
ç ç è
0
0
0
1
ö ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ø
,
erhält man mit den Lösungsvektoren xj die
Spaltenvektoren der
Inversen von A, d.h. A-1 = (x1, ¼, x4).
File translated from
TEX
by
TTH,
version 3.06. On 25 May 2002, 19:33.