Beispiele zum Kapitel "Lineare Ausgleichsprobleme"


  1. Die folgende Tabelle enthält die mittleren Monatstemperaturen (in ° C) für Recife, Brasilien, aus den Jahren 1953-1962:
    Monat 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962
    1 26.8 27.1 26.9 26.8 26.3 27.1 26.8 27.1 26.3 27.0
    2 27.2 27.5 26.3 26.9 27.1 27.1 27.1 27.5 26.7 27.4
    3 27.1 27.4 25.7 26.7 26.2 27.4 27.4 26.2 26.6 27.0
    4 26.3 26.4 25.7 26.1 25.7 26.8 26.4 28.2 25.8 26.3
    5 25.4 24.8 24.8 26.2 25.5 25.4 25.5 27.1 25.2 25.9
    6 23.9 24.3 24.0 24.7 24.9 24.8 24.7 25.4 25.1 24.6
    7 23.8 23.4 23.4 23.9 24.2 23.6 24.3 25.6 23.3 24.1
    8 23.6 23.4 23.5 23.7 24.6 23.9 24.4 24.5 23.8 24.3
    9 25.3 24.6 24.8 24.7 25.5 25.0 24.8 24.7 25.2 25.2
    10 25.8 25.4 25.6 25.8 25.9 25.9 26.2 26.0 25.5 26.3
    11 26.4 25.8 26.2 26.1 26.4 26.3 26.3 26.5 26.4 26.4
    12 26.9 26.7 26.5 26.5 26.9 26.6 27.0 26.8 26.7 26.7
    Führe einen Ausgleich des Jahrestemperaturverlaufs mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen (Fourier-Reihe!)
    T(i) =  a0
    2
    		 + a1cos æ
    è     		 2pi
    12
    		 ö
    ø     		+b1sin æ
    è     		 2pi
    12
    		 ö
    ø     		+a2cos æ
    è     		 4pi
    12
    		 ö
    ø     		+b2sin æ
    è     		 4pi
    12
    		 ö
    ø     		+ ¼
    durch, wobei T(i) die mittlere Temperatur im Monat i (i=1,¼,12) ist.
    Hinweis: Der Fit kann im einfachsten Fall so erfolgen, daß der obige Ausdruck an alle 12×10 Werte angepaßt wird (es also für jeden Monat 10 Messungen gibt). Alternativ kann man zuerst für jeden Monat Mittelwert und Standardfehler berechnen und dann die Funktion nur an diese 12 Mittelwerte fitten. Im letzteren Fall kann man auch eine quantitative Aussage über die Güte des Fits machen.

  2. Die Zustandsgleichung eines Systems aus harten Kugeln mit Durchmesser s wird im fluiden Bereich (h < 0.49) sehr gut durch die empirische Formel
     p
    rkT
    		 =  1+h+h2-h3
    (1-h)3
    wiedergegeben. Hier ist p der Druck, r die Anzahldichte, T die Temperatur und h = prs3/6 die Packungsdichte (eine reduzierte Dichte). Als Virialkoeffizienten bezeichnet man die Koeffizienten einer Entwicklung der Zustandsgleichung nach der Dichte
     p
    rkT
    		 = 1 + ¥
    å
    n=1 
    		 Bnhn
    Für harte Kugeln führt die empirische Zustandsgleichung auf Bn=n2+3n.
    Experimentell werden Virialkoeffizienten bestimmt, indem man die Zustandsgleichung im Bereich geringer Dichten sorgfältig mißt und ein Polynom niedrigen Grades an die Meßwerte anpaßt. Ermittle auf diese Weise die ersten beiden Virialkoeffizienten für harte Kugeln aus den folgenden (mit Hilfe der empirischen Gleichung berechneten, also fingierten) Meßdaten.
    h p/rkT h p/rkT
    0.01 1.04102 0.11 1.58981
    0.02 1.08415 0.12 1.66210
    0.03 1.12951 0.13 1.73834
    0.04 1.17723 0.14 1.81880
    0.05 1.22744 0.15 1.90372
    0.06 1.28028 0.16 1.99341
    0.07 1.33592 0.17 2.08817
    0.08 1.39451 0.18 2.18832
    0.09 1.45623 0.19 2.29422
    0.10 1.52126 0.20 2.40625
    Wie groß muß der Grad des Polynoms in h mindestens sein?



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On 5 Jun 2003, 10:42.