Beispiele zur numerischen Integration


  1. Bestimme mit der zusammengesetzten Trapezregel einen Näherungswert von
    I  =  b = 1.3
    ó
    õ
    a = 0 
    		  1
    1+x
    		   dx  = log(1+x) ê
    ê     		1.3

    0 
    für verschiedene Werte einer vorgegebenen relativen Genauigkeit e: = |(I - T(h))/I| = 10-3,¼,10-5.

  2. Konvergenzverhalten der Trapezsummen T(h):
    Untersuche für das Integral aus Beispiel 1 das Verhalten des relativen Fehlers |(I - T(h))/I| in Abhängigkeit von der Schrittweite h durch sukzessive Halbierung von h (d.h. hn = (b - a)/2n mit n=0, 1, 2, ¼) und stelle das Ergebnis graphisch dar.

  3. Implementiere die zusammengesetzte Simpsonregel mit Hilfe der Trapezregel.

  4. Mit der 5-Punkte Gauß-Legendre-Quadraturformel werden Polynome bis zum Grad 9 exakt integriert (abgesehen von Rundungsfehlern). Für
    ó
    õ     		1

    -1 
    		 xm  dx   ,           m = 0,1,2,¼,9
    sollten daher die Ergebnisse der Näherungswerte auf etwa 5 Dezimalstellen genau sein (bei einfachgenauer Rechnung, d.h.  mit real bzw. float). Verwende die obigen Integrale, um die Werte für die Stützstellen xi und Gewichte wi auf ihre Korrektheit hin zu überprüfen.

  5. Berechne Näherungswerte für das bestimmte Integral
    ó
    õ     		p/2

    0 
    		 x cos(x) dx
    =
     p
    2
    		 - 1

    mit der zusammengesetzten Trapezregel, der zusammengesetzten Simpsonregel und mit der 5-Punkte Gauß-Legendre-Quadraturformel. Wieviele Funktionsauswertungen müssen in jedem Fall durchgeführt werden, um jeweils auf eine Genauigkeit von 4 Dezimalstellen zu kommen?

  6. In der Statistik tritt häufig die sogenannte Fehlerfunktion (engl.: error function ) auf,
    erf(x)   :=    2

    Ö
    p
    		 ó
    õ     		x

    0 
    		 e-t2  dt   ,
    ein Integral, das sich nicht in geschlossener Form durch elementare Funktionen ausdrücken läßt. Berechne für 0 £ x £ 3 Näherungswerte von erf(x) und stelle diese graphisch dar. Überprüfe das Ergebnis mit Hilfe von Gnuplot :
    gnuplot> set xrange [0:3]; plot erf(x)


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On 4 Aug 2003, 18:29.