Es seien die folgenden Funktionen auf dem Intervall [-1,1] gegeben
eine Funktion mit Sprungstellen
f1(x) =
ì í
î
-1
-1 < x < 0
1
0 < x < 1
eine Funktion mit Knickstellen
f2(x) =
ì í
î
1+2x
-1 £ x < 0
1-2x
0 £ x < 1
eine glatte Funktion
f3(x) =
ì í
î
4(x+x2)
-1 £ x < 0
4(x-x2)
0 £ x < 1
Die Funktionen sind so gewählt, daß (bis auf einen Faktor) f1 die
Ableitung von f2 ist und f2 die von f3. Die Fourier-Koeffizienten
von f2 und f3 lassen sich daher leicht aus denen von f1
(vgl. Heaviside-Funktion) berechnen. Wie viele Terme muß man in der
Fourier-Entwicklung von f1, f2 und f3 berücksichtigen, um jeweils
eine graphisch akzeptable Darstellung der Funktion zu erhalten?
Wenn die Fourier-Koeffizienten einer Funktion sich nicht analytisch
berechnen lassen, kann man die Integrale in
cn =
1L
ó õ
L/2
-L/2
dxe-iknxf(x)
(bzw. an und bn bei reellwertigen Funktionen) immer noch numerisch
auswerten. Führe auf diese Weise die Fourier-Darstellung der Funktion
f(x) =
ì í
î
(1-x2)2e-x2
-1 £ x £ 1
0
sonst
auf dem Intervall [-2,2] durch.
Ist f(x) ein Funktion auf dem Intervall [-L/2,L/2] mit den
Fourier-Koeffizienten cn, so besagt das Translationstheorem, daß die
Fourier-Koeffizienten von f(x+a) durch eiknacn gegeben
sind. Warum? Wie lautet das Theorem für die Koeffizienten an und
bn einer reellwertigen Funktion? Wende das Theorem auf eine der
Funktionen aus den obigen Beispielen an und verifiziere das Ergebnis
graphisch durch Zeichnen der Fourier-Darstellung von f(x+a).
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