20 Fourierintegrale

Mathematische Grundlagen für das Lehramtsstudium Physik

Franz Embacher, Universität Wien, 2008
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/grundlagen/

Berechnung von Fouriertransformierten am Beispiel der Gaußfunktion

Einfache EIngabeform

Wird ein Integral, das freie Konstante enthält, in dieser Form eingegeben, so macht Mathematica unter Umständen Fallunterscheidungen. Das Ergebnis muss dann nachträglich interpretiert werden:

h=(((2π))^(-1/4))(a^(-1/2))Exp[-x^2/(4a^2)];
(1/(Sqrt[2π]))Integrate[Exp[-I k x]h,{x,-∞,∞}]

Eingabeform unter Verwendung der Option Assumptions

Ein Integral, das freie Konstante enthält, kann so eingegeben werden, dass Mathematica Fälle, die nicht von Interesse sind, gar nicht anzeigt:

h=(((2π))^(-1/4))(a^(-1/2))Exp[-x^2/(4a^2)];
(1/(Sqrt[2π]))Integrate[Exp[-I k x]h,{x,-∞,∞},Assumptions->{a>0,Im[k]==0}]

Berechnung mit der vordefinierten Operation FourierTransform

Mathematica stellt die Operation FourierTransform zur Verfügung. Sie berechnet die "symbolische Fouriertransformierte" einer Funktion..Das bedeutet, dass sie auch dann ein Ergebnis liefert, wenn die Fouriertransformierte im Sinn eines gewöhnlichen integrals nicht existiert. (Probieren Sie beispielsweise, die Fouriertransformierte der konstanten Funktion 1 mittels FourierTransform[1,x,k] zu berechnen!) Mit ihr ist also Vorsicht geboten, insbesondere wenn Sie nicht mit verallgemeinerten Funktionen (Distributionen) vertraut sind! Aus diesem Grund wurde sie im Buch nicht erwähnt. (Beachten Sie außerdem, dass sie eine andere Konvention benutzt - tatsächlich berechnet sie das, was im Buch als inverse Fouriertransformierte bezeichnet wird! Das kann mit der Option FourierParameters->{0,-1} repariert werden).

h=(((2π))^(-1/4))(a^(-1/2))Exp[-x^2/(4a^2)];
FourierTransform[h,x,k,Assumptions->a>0]

Interaktive Darstellung von Funktion und Fouriertransformierter

Beispiel 1: Charakteristische Funktion des Intervalls [-a,a]

Stellen Sie mit dem Schieberegler a ein! Um die Anzeige zu beschleunigen, wurde die zuvor berechnete Fouriertransformierte eingegeben.

Manipulate[
GraphicsArray[{Plot[If[Abs[x]≤a,1,0],{x,-5,5},PlotRange->{-1,2},PlotStyle->Red,AxesLabel->{x,""},AxesStyle->{FontSize->14,FontSize->14}],
Plot[(Sqrt[(2/π)])((Sin[a k])/k),{k,-10,10},PlotRange->{-1,2},PlotStyle->Red,AxesLabel->{k,""},AxesStyle->{FontSize->14,FontSize->14}]},ImageSize->700],
{{a,1.5},0.2,2.5,Appearance->"Labeled"}]

Beispiel 2: Gaußfunktionen

Stellen Sie mit dem Schieberegler a ein! Um die Anzeige zu beschleunigen, wurde die zuvor berechnete Fouriertransformierte eingegeben.

Manipulate[
GraphicsArray[{Plot[(((2π))^(-1/4))(a^(-1/2))Exp[-((x^2)/(4(a^2)))],{x,-5,5},PlotRange->{0,1.5},PlotStyle->Red,AxesLabel->{x,""},AxesStyle->{FontSize->14,FontSize->14}],
Plot[((((2/π)))^(1/4))(a^(1/2))Exp[-(a^2)(k^2)],{k,-10,10},PlotRange->{0,1.5},PlotStyle->Red,AxesLabel->{k,""},AxesStyle->{FontSize->14,FontSize->14}]},ImageSize->700],
{{a,1},0.2,2,Appearance->"Labeled"}]