1 Einleitung

Mathematische Grundlagen für das Lehramtsstudium Physik

Franz Embacher, Universität Wien, 2008
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/grundlagen/

Wie bediene ich Mathematica?

Klcken Sie mit der Maus in das folgende Feld, halten Sie die Umschalt-Taste (Shift) gedrückt und drücken Sie auf die Taste Eingabe (Return)!

a^3+a^2 b-2a b -a^2 b-2a^3

Mathematica sollte daraufhin den angegebenen Term vereinfachen und das Resultat anzeigen. a^3 in der Eingabe steht für (a^3). Wollen Sie die Eingabe in der schöneren Form

(a^3)+(a^2)b-2a b-(a^2)b-2(a^3)

schreiben, so benutzen Sie dazu die Palette BasicMathInput (aufzurufen aus dem Menü Palettes)! Klicken Sie wieder mit der Maus in das Eingabefeld und führen Sie die Anweisung mit Umschalt-Taste + Eingabe aus! Das Resultat sollte das gleiche sein. Das ist das Prinzip. Wie Sie sehen, ist ein Mathematica-Notebook in "Zellen" für Text, Eingabe und Ausgabe unterteilt. Sie können jederzeit eine Eingabezelle neu beschreiben und noch einmal ausführen. Mathematica merkt sich die Reihenfolge der Eingaben und Ausgaben. Mit dem Symbol % wird das jeweils zuvor erzielte Ergebnis bezeichnet, mit %% das Ergebnis davor, usw. Eine Eingabezelle kann mehr als eine Zeile besitzen. Ausgeführt wird aber immer nur eine komplette Zelle. DIe Ergebnisse der einzelnen Rechnungen werden untereinander ausgegeben.
Beispiel:

(((a+b))^3) 
Expand[%]

Der erste Befehl führt nur zur unveränderten Ausgabe des Terms. Im zweiten Befehl wird auf ihn die Operation "Klammern ausmultiplizieren" (englisch: expand) angewandt. Das gleiche Ergebnis kann erzielt werden durch

Expand[(((a+b))^3)]

oder durch

(((a+b))^3)//Expand

Mit // wird eine Operation auf alles links von ihr stehende angewandt. Sie können auch den Term (((a+b))^3) zuerst mit einem Symbol (einem Variablennamen) bezeichnen und danach in der Anweisung für die Anwendung einer Operation diesen Namen benutzen:

f=(((a+b))^3)
Expand [f]

Nachdem Sie diese Zelle ausgeführt haben, bedeutet f auch in späteren Berechnungen stets den Ausdruck (((a+b))^3). Variablennamen dürfen auch aus mehreren Buchstaben bestehen, wie etwa in

term1=(((a+b))^2)
term2=(((a-b))^2)
term1-term2//Expand

Um Mathematica die Vereinfachung eines Ausdrucks zu überlassen, wird der Befehl Simplify verwendet:

(a^3)+(a^2)b-2a b-(a^2)b-2(a^3)
%//Simplify

Um ein neues Eingabefeld zu erzeugen, klicken Sie mit der Maus zwischen zwei Zellen (oder auf die Fläche unterhalb der letzten Zelle) und schreiben die entsprechenden Anweisungen.

Hilfe

Um den Hilfe-Browser von Mathematica aufzurufen, drücken Sie die Taste F1. Um die Hilfe zu einem bestimmten Begriff oder einer Anweisung anzuzeigen, können Sie diese schreiben, danach markieren und F1 drücken. Für Kurzbeschreibungen führen Sie den gewünschten Befehl mit einem vorangestellten Fragezeichen aus. Beispiel:

?Expand

Auch die Verwendung des Jokerzeichens * ist möglich:

?*Simplify

Mit dem doppelten Fragezeichen bekommen sie zusätzliche Informationen, wie z.B. Optionen (Zusatzanweisungen) zu einem Befehl. Hier als Beispiel die möglichen Optionen der Operation Plot, die zum Plotten von Funktionsgraphen benutzt wird:

??Plot

Beispiele

Hier ein paar Beispiele. Führen Sie die vorbereiteten Zellen mit Umschalt-Taste + Eingabe aus!

Numerischen Wert berechnen

((π^2)/2)
N[%]
N[%%,30]

Das Symbol π können Sie mit der Tastenkombination Escape + p + Escape erziehen (oder von der Palette BasicMathInput holen). Statt dessen können Sie auch Pi schreiben. Alle in Mathematica eingebauten Befehle und Konstanten beginnen mit einem Großbuchstaben.

Gleichung lösen

Solve[3x^2+4x==12,x]

Die Gleichung 3(x^2)+4x=12 wird nach x gelöst. Beachten Sie, dass in Mathematica Gleichungen mit einem doppelten Gleichheitszeichen == geschrieben werden müssen (im Unterschied zu einer Variablenzuweisung vom Typ f=(((a+b))^3), wie sie oben ausgeführt wurde).

Plot eines Funktionsgraphen

Plot[((1-x)/(1+(x^2))),{x,-3,4}]

Hier wird der Graph der Funktion x↦((1-x)/(1+(x^2))) zwischen x=-3 und x=4 angezeigt.

Plot mehrerer Funktionsgraphen mit Angabe des anzuzeigenden Bereichs der Funktionswerte

Plot[{(1/x),(1/(x^2)),(1/(x^3))},{x,-3π,3π},PlotRange->{-2,2}]

Das Symbol -> wird bei der EIngabe als -> geschrieben, Mathematica wandelt ihn automatisch in einen Pfeil um. Die Angabe PlotRange-> {-2,2} ist eine Option (Zusatzanweisung) des Plot-Befehls. Viele Mathematica-Befehle können mit Optionen an spezielle Anforderungen angepasst werden. So können sie beispielsweise mit einer weiteren Option die drei Graphen nach Ihren Wünschen einfärben (hier rot für den ersten, blau für den zweiten und grün für den dritten Graphen):

Plot[{(1/x),(1/(x^2)),(1/(x^3))},{x,-3π,3π},PlotRange->{-2,2},PlotStyle->{Red,Blue,Green}]

Differenzieren

D[a Sin[ω t],t]

Die Funktion t↦a sin(ω t) wird nach t abgeleitet. Das Symbol ω schreiben Sie mit der Tastenkombination Escape + o + Escape (oder holen es von der Palette BasicMathInput). Die zweite Ableitung der angegebenen Funktion nach t berechnen Sie mit dem Befehl

D[a Sin[ω t],t,t]

Integrieren

Integrate[Sin[ω t],t] 
Integrate[Sin[ω t],{t,0,(π/ω)}]

Der erste Befehl berechnet ein unbestimmtes Integral (d.h. eine Stammfunktion), der zweite ein bestimmtes Integral. Mit Hilfe der Palette BasicMathInput können diese beiden Integrale auch in der Form

∫Sin[ω t]\[DifferentialD]t
(∫_0^(π/ω))Sin[ω t]\[DifferentialD]t

geschrieben werden.