In diesem Lehrgang haben wir durchwegs angenommen, Längen werden mit Maßstäben gemessen. Es ist aber im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie auch möglich - und sogar eleganter - Längen mit Uhren zu messen. Entwerfen Sie ein Verfahren, das es gestattet, die räumliche Entfernung zweier Ereignisse, die in einem Inertialsystem gleichzeitig stattfinden, mit Hilfe von Uhren zu messen!

Hinweis: Lassen Sie sich Definitionen der Gleichzeitigkeit noch einmal durch den Kopf gehen!
 

Beweisen Sie den folgenden - im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie geltenden - Satz: Falls sich ein massiver Körper in jedem Inertialsystem mit beliebig großer (endlicher) Geschwindigkeit bewegen könnte, so wären Reisen in die Vergangenheit möglich. Dabei ist vorausgesetzt, dass der Wechsel zwischen Inertialsystemen durch die Lorentztransformation gegeben ist.

Hinweis: Diese Aufgabe kann rechnerisch oder mit Hilfe der grafischen Darstellung der Lorentztransformation gelöst werden. Falls Sie die grafische Variante vorziehen, betrachten Sie den folgenden Weg in der Raumzeit:

Während Abschnitt 1 ist der Reisende im Inertialsystem, das zu diesem Diagramm gehört, in Ruhe. Während Abschnitt 2 bewegt er sich in diesem mit Überlichtgeschwindigkeit. Während Abschnitt 3 bewegt er sich in die Vergangenheit. Finden Sie ein Inertialsystem, in dem Abschnitt 3 eine Reise mit Überlichtgeschwindigkeit (aber nicht in die Vergangenheit) ist!
 

Wie sehen wir ein vorbeifliegendes Objekt? In seinem eigenen Ruhsystem ist es aufgrund der Lorentzkontraktion in x-Richtung länger als in "unserem" System, in dem es sich bewegt. Sehen wir es tatsächlich verkürzt, wenn wir zur Beobachtung Licht verwenden, das vom Objekt ausgesandt wird und dann in ein Auge oder eine optische Linse fällt?

Stellen wir uns ein Szenario vor, wie es in dieser Abbildung skizziert ist:

Wir ruhen in einem Inertialsystem, und ein Objekt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit nach rechts. In der Abbildung ist es zu drei Zeitpunkten festgehalten (wobei damit die "Zeit" unseres Inertialsystems gemeint ist). Die Verkürzung aufgrund der Lorentzkontraktion ist dabei schon berücksichtigt: In seinem Ruhsystem ist das Objekt in horizontaler Richtung länger als hier eingezeichnet. Die (in unserem Inertialsystem geltende) Länge des Objekts in Bewegungsrichtung ist mit L bezeichnet. Zum ersten Zeitpunkt wird ein (als hellblauer Punkt markiertes) Photon vom vordersten Punkt nach unten ausgesandt. Zum zweiten Zeitpunkt ist dieses Photon schon ein Stück weit nach unten vorgerückt, während vom hintersten Punkt ein zweites Photon nach unten ausgesandt wird. Zwischen dem ersten und dem zweiten Zeitpunkt ist das Objekt als Ganzes auch ein Stück nach rechts gerückt. (Von der hellgrauen zur schwarzen Position). Zum dritten Zeitpunkt ist wieder etwas Zeit vergangen, und beide Photonen sind schon eine Zeitlang unterwegs nach unten. Dort werden sie später auf die schwarze Linie treffen, die wir uns als Linse oder Bildschirm vorstellen können. (Sie sind so gewählt, dass sie gleichzeitig ankommen werden). Zum besseren Verständnis sind die nach unten verlaufenden Bahnen der Photonen in blau eingezeichnet. (Ganz wichtig ist, dass die zusätzlich eingezeichneten rosa Linien nicht die Bahn des zweiten Photons darstellen!). Der Abstand ihrer Bahnen ist kleiner als L, und so werden sie bei ihrem Eintreffen den (optischen) Eindruck erwecken, das Objekt habe in Bewegungsrichtung die Länge L_beob, sei also kleiner als L. Aufgrund der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts erscheinen ausgedehnte Objekte bei optischer Beobachtung also nicht ganz so, wie sie wirklich sind.

Versuchen Sie, die Art der Verfälschung genauer zu analysieren! Wie sehen wir einen vorbeifliegenden Würfel, einen vorbeifliegenden Zylinder, eine vorbeifliegende Kugel? Wie verhält sich die Verfälschung zur Lorentzkontraktion - können wir letztere durch optische Beobachtungen sehen, wenn wir dieses Phänomen (die "Aberration des Lichts") berücksichtigen?
 

Ein Raumfahrzeug bewege sich geradlinig, aber beschleunigt. In einem Inertialsystem ist seine Bewegung dadurch charakterisiert, dass es zur Zeit t am Ort x(t) ist. Bestimmen Sie die Beschleunigung, die die Insassen spüren! (Eigentlich spürt man immer nur eine mit der Beschleunigung verbundene Kraft, aber wir wollen das hier nicht so genau nehmen). Wie muss sich das Raumfahrzeug bewegen, damit immer dieselbe Beschleunigung gespürt wird? (Das ist dann die relativistische Version der "gleichmäßig beschleunigten Bewegung". Ein interessanter Zug daran ist, dass die Geschwindigkeit immer kleiner als c ist. Die nichtrelativistische Formel  x(t) = (a/2) t ²  erfüllt diese Bedingung natürlich nicht).

Hinweis: Dazu fixiert man zunächst einen Zeitpunkt t und geht mit Hilfe einer Lorentztransformation in x-Richtung in das momentane Ruhsystem, d.h. in jenes Inertialsystem, in dem das Raumfahrzeug zur Zeit t die Momentangeschwindigkeit 0 hat. Kurz vor und nach diesem Zeitpunkt bewegt es sich zumindest für eine kurze Zeit sehr langsam, so dass die nichtrelativistische Mechanik angewandt werden kann. Sie sagt uns, dass die Beschleunigung, die die Insassen spüren, die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit (in diesem momentanen Ruhsystem berechnet) ist. (Genauer: ein Insasse der Masse m spürt eine Kraft, die gleich dem Produkt aus m und der zweiten Zeitableitung des Ortes ist). Um das Problem vollständig zu lösen, sind einige nicht allzu leichte Rechnungen nötig:

• Einen Zeitpunkt t fixieren.
• Lorentztransformation in das momentane Ruhsystem.
• Die zweite Zeitableitung a des Ortes berechnen (wobei Ort und Zeit die des momentanen Ruhsystems sind).
• Die so berechnete Größe a (die Beschleunigung, die die Insassen spüren) wieder durch x(t) ausdrücken, sodass man eine Funktion a(t) bekommt. (Im gesuchten Ausdruck kommt die erste und die zweite Ableitung von x(t) vor). Das momentane Ruhsystem war nur für die Berechnung von a nötig und tritt in den Formeln nicht mehr auf.
• Die Gleichung  a(t) = const  (die eine Differentialgleichung für x(t) ist) lösen.

Es gibt elegantere Methoden, das Problem anzugehen. Dafür sind aber einige zusätzliche mathematische Vorbereitungen - insbesondere eine Parameterdarstellung der Weltlinie in der Form (t(s), x(s)) mit der Eigenzeit s als Parameter - notwendig.

Eine Verallgemeinerung dieser Fragestellung besteht darin, die Geradlinigkeit der Bewegung fallenzulassen. So kann beispielsweise gefragt werden, welche Beschleunigung die Insassen eines gleichmäßig rotierenden Karussells spüren. Die nichtrelativistische Antwort darauf ist v ²/r (wobei r der Radius und v die Tangentialgeschwindigkeit ist) - ist sie auch in der Relativitätstheorie gültig? Diese Frage ist nicht nur rein akademisch: So würde man beispielsweise gern wissen, welchen Deformationskräften ein geladenes Teilchen, das eine innere Struktur besitzt, auf seiner Kreisbahn im Magnetfeld eines Beschleunigers ausgesetzt ist.
 

Betrachten wir ein rotierendes Karussell. Der äußerste Rand liege bei einem Radius r, die Geschwindigkeit der in diesem Abstand rotierenden Punkte sei v:

Im Inertialsystem eines nicht mitrotierenden Betrachters ist der Kreisumfang klarerweise durch  u = 2pr  gegeben. Andererseits ist jedes kleine Längenstück des Kreises der Lorentzkontraktion unterworfen: In seinem (momentanen) Ruhsystem ist es um den Faktor  (1 - v²/c² )^-1/2  länger als im nichtrotierenden Inertialsystem. Der Radius des Kreises ist davon nicht betroffen, da er eine Länge normal zur Bewegungsrichtung darstellt. Insgesamt ist der Umfang des Kreises im rotierenden System also durch

gegeben. Damit ist eine grundlegende Eingenschaft der euklidischen Geometrie verletzt, nämlich dass jeder Kreisumfang durch  u = 2pr  gegeben ist. Das ist ein sicheres Anzeichen dafür, dass der Raum gekrümmt ist! Allerdings heißt es doch immer, dass Krümmungen nicht in der Speziellen, sondern erst in der Allgemeinen Relativitätstheorie auftreten, wenn die Gravitation hinzukommt ("Materie krümmt den Raum"). Andererseits haben wir keine Schwerkraftphänomene in unser Karussell eingebaut, und daher ist es in der Speziellen Relativitätstheorie gut aufgehoben. Wie lässt sich dieser Widerspruch aufklären?