Mathematik fürs Studium

Mathematik und Physik

Schulinterne Lehrerfortbildung
GRG23/VBS Wien Draschestraße, 12. 3. 2009

Franz Embacher
Fakultät für Physik der Universität Wien
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/MatheDidaktik/MfS/
franz.embacher@univie.ac.at


Mathematik fürs Mathematikstudium
Mathematik für das Physikstudium
Nötige Voraussetzungen: must have
  • Neues in das vorhandene Wissen und in die vorhandenen Kompetenzen integrieren können, verschiedene Kompetenzen kombinieren können
    • Allgemeine Formeln und Beziehungen
      z. B.
            d f(x(t),y(t))  =  ∂ f(x(t),y(t))   dx(t) + ∂ f(x(t),y(t))   dy(t)
      dt ∂x dt ∂y dt
    • neue Funktionsdefinitionen (z.B. Gammafunktion)
    • Verwendung anderer Symbole ( x(t), Ableitungen,...)
    • Begriff der Differentialgleichung
       
  • Begriff der reellen Zahlen
     
  • Operieren mit Mengen
    • Mengendefinitionen {x|...}
    • Menge aller reellen x, die |x - a| < b erfüllen
       
  • Operieren mit Termen ("Rechnen mit Formeln")
    • Terme umformen, Klammern- und Bruchrechnen!
    • Strukturen in Termen erkennen
    • Terme in Terme einsetzen können ("Abkürzunghen verwenden")
       
  • Gleichungen
    • Begriff der Lösungsmenge
    • lineare und quadratische Gleichungen lösen
    • Gleichungen mit Parametern ("Konstanten")
       
  • Operieren mit Funktionen
    • Funktionsbegriff, Funktionsschreibweise
    • Graphen zeichnen, Graphen interpretieren
       
  • Spezielle Funktionen, elementare Eigenschaften und Graphen
    • Polynomfunktionen, Potenzfunktionen
    • Exponentialfunktionen (auch zur Basis e)
    • Logarithmusfunktionen (vor allem ln)
    • Winkelfunktionen (im Dreieck, Graphen)
       
  • Statistische Kennzahlen, elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
     
  • Analytische Geometrie
    • mit Geraden- und Ebenengleichungen operieren
    • Vektorbegriff, Vektorrechnung, geometrische Deutungen (Skalarprodukt!)
    • Kreis, Kugel, Kegelschnitte
    • Parameterdarstellung der Geraden
       
  • Grenzprozesse (Folgen, Konvergenz)
     
  • Differenzieren
    • Differentiationsregeln kennen (und formulieren können)
    • Differentiationsregeln anwenden
       
  • Integrieren
    • Integralbegriff
    • Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
    • einfache Integrale berechnen
    • Regeln zum Umgang (Umformungen) mit Integralen und Integrationsvariablen

Nötige Voraussetzungen: nice to have
  • positive Einstellung zur Mathematik
     
  • mathematische Logik und ihre Ausdrucks- und Schreibweisen
    • "für alle", "es existiert", Bedeutungen des Gleichheitszeichens
       
  • Operieren mit mathematischen Sachverhalten (in denen nichts "ausgerechnet" wird)
     
  • über mathematische Themen sprechen
     
  • algebraische/analytische Sachverhalte geometrisch interpretieren
    z. B.
    • 2 Funktionen (x(t), y(t)) ... Kurve in der Ebene
    • 3 Funktionen von 3 Variablen (Fx(x,y,z), Fy(x,y,z), Fz(x,y,z) = "Vektor von Funktionen" = Vektorfeld
    • px2 + py2 + pz2 = 2mE ... Kugel mit Radius (2mE)1/2 im Impulsraum
       
  • keine Angst vor Integralen haben!
     
  • komplexe Zahlen
     
  • Ungleichungen
     
  • Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten
     
  • Parameterdarstellung von Kurven
     
  • Graphen von Funktionen in 2 Variablen
     
  • Summensymbol
     
  • Matrizen

Typische Defizite, Beispiele
  • Viele Studierende wissen nicht, was sie nicht wissen!
     
  • geringe Selbständigkeit; viele Studierende erwarten, dass ihnen alles "vorgekaut wird"
     
  • mangelnde Bereitschaft, der Beschäftigung mit Mathematik ein ausreichendes Zeitbudget einzuräumen
     
  • Schwierigkeiten, eine längere mathematiche Argumentation durchzuführen oder durchzuhalten (z.B. ebene Wellen, siehe unten)
     
  • Defizite bei Termumformungen, Umgang mit Klammern und Brüchen
          ..... =   –1
    1

  • Defizite beim Umgang mit Funktionen
    z. B.: Werte e–|x| an der Stelle x = 0 aus!
     
  • Defizite beim "Blick auf Formeln", um Wichtiges von Unwichtigem zu unterscheiden, und um die Bedeutung von Symbolen zu erkennen
    z. B.: Was an der Funktionsdefinition f(p) = exp(– ( p – p0 )2 / (4σ2)) bedeuten die einzelnen Symbole?
    f(p) = exp(– ( p – p0 )2 / (4σ2))
     
  • Strukturen in Termen erkennen und mit algebraischen Eigenschaften verbinden
    z. B.: Welche Werte kann
                           1          
    1 + a2 + 5 b2
    annehmen?
     
  • Graphen zeichnen und interpretieren, Werte ablesen bzw. einzeichnen
    z. B.: Wie könnte der Graph von
          f(x) =       1     
    1 + x2
    aussehen? (Zu lösen durch "mathematischen Hausverstand", nicht durch eine Kurvendiskussion!)
     
  • Mangelndes Gefühl für den Begriff "linear" (z.B. für die Linearität der Ableitungsoperation oder des Integrals)
     
  • Defizite in Berechnungen mit Hilfe der analytischen Geometrie
    z.B.: ebene Wellen
          f ( x , t) = sin(ω t – k x )
    Bestimme die Flächen gleicher Phase!
     
  • Verständnis allgemeiner Beziehungen, z. B. der Leibnizschen Kettenregel
          d f(x(t),y(t))  =  ∂ f(x(t),y(t))   dx(t) + ∂ f(x(t),y(t))   dy(t)
    dt ∂x dt ∂y dt
    (nachdem sie begründet und ausführlich besprochen wurde)
      
  • Defizite im Umgang mit Integralen
    z. B. extreme Schwierigkeiten, aus
     
    dx e–x2 = π1/2
    –∞  
    eine allgemeine Formel für
     
    dx e–a x2
    –∞  
    (für a > 0) gewinnen.
     
  • Schwierigkeiten, allgemeine Formeln auf Spezialfälle anzuwenden
    z. B.
     
    dx e–a x2 = (π/a)1/2
    –∞  
    ist gegeben,
     
    dx e–x2/2
    –∞  
    ist gesucht.
     
  • Schwierigkeiten im Umgang mit Differentialen (infinitesimalen Größen), z. B. ρ(x) dx
     
  • Schwierigkeiten, mit dem Summensymbol umzugehen
    z. B. Was bedeutet
            12
    xj yj   ?
    j = 1

  • Unsicherheit beim Anschreiben mathematischer Ausdrücke
    z. B.
    1  
    dx sin(x) + cos(x)
    0  
    oder
    1  
    sin(x) + cos(x) dx
    0  
  • Unterstufenfehler: (10 + b)/(5 + c) = (2 + b)/(1 + c)  u. ä.
     
  • Ein letztes Beispiel: http://www.mathe-online.at/lernpfade/harmonischeSchwingung/#8



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