Aufgabe: Ermitteln Sie die Taylorreihe der Funktion
$$w(x)=x\,e^{-x^2/2}$$
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$(1)$ |
um den Punkt $0$ ! Schreiben Sie sie in geschlossener Form (mit dem Summensymbol) an!
Die Taylorreihe der Exponentialfunktion darf als bekannt vorausgesetzt werden
Berechnung:
- Wir berechnen zuerst die Taylorreihe von $e^{-x^2/2}$ so, wie es auf der Seite
Reihenentwicklung 2 beschrieben wird und erhalten
$$e^{-x^2/2}=\sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n}\over2^n n!}$$
- Um die Taylorreihe von (1) zu erhalten, müssen wir dies nur mit $x$ multiplizieren:
$$w(x)=x\,e^{-x^2/2}=x\sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n}\over2^n n!}=
\sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n+1}\over2^n n!}$$
wobei einfach die Rechenregel $x\,x^{2n}=x^{2n+1}$ verwendet wurde.
- Obwohl es nicht verlangt ist, die ersten Reihenglieder anzuschreiben, ist es eine sinnvolle Übung:
$$w(x)=x\,e^{-x^2/2}=x-{x^3\over 2^1\cdot 1!}+{x^5\over 2^2\cdot 2!}-{x^7\over 2^3\cdot 3!}+\dots=
x-{x^3\over 2}+{x^5\over 8}-{x^7\over 48}+\dots$$
Nachbemerkung: Ganz analog können Sie die Taylorreihen vieler anderer Funktionen
ermitteln, beispielsweise
- die Taylorreihe von $x^2e^{-3x^2}$ um den Punkt $0$ (unter Ausnutzung der Taylorreihe der Exponentialfunktion),
- die Taylorreihe von $x^3\cos(5x)$ um den Punkt $0$ (unter Ausnutzung der Taylorreihe der Cosinusfunktion)
- oder die Taylorreihe von $\sin x\over x$ um den Punkt $0$ (unter Ausnutzung der Taylorreihe der Sinusfunktion). Bei diesem
letzten Beispiel müssen Sie die Taylorreihe von $\sin x$ durch $x$ dividieren. Da diese mit $$\sin x=x-{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!}-\dots$$
beginnt, bleibt nach der Division keine negative Potenz von $x$ übrig, denn die Division ergilt
$${\sin x\over x}=1-{x^2\over 3!}+{x^4\over 5!}-\dots$$
Das bedeutet, dass sich $\sin x\over x$ an der Stelle $0$ friedlich verhält und dort eine Taylorreihe besitzt.
In der Schreibweise mit dem Summensymbol ist
$$\sin x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{x^{2n+1}\over (2n+1)!}$$ und daher
$${\sin x\over x}={1\over x}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{x^{2n+1}\over (2n+1)!}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{x^{2n}\over (2n+1)!}$$
- Im Gegensatz zum vorigen Beispiel besitzt die Funktion $\cos x\over x$ wegen des Auftretens von $1\over x$ in
$${\cos x\over x}={1\over x}-{x\over 2!}+{x^3\over 4!}-\dots$$
keine Taylorreihe um den Punkt $0$, die Funktion $\cos x-1\over x$ wegen
$${\cos x -1\over x}={\cos x \over x}-{1\over x}
={1\over x}-{x\over 2!}+{x^3\over 4!}-\dots-{1\over x}=-{x\over 2!}+{x^3\over 4!}-\dots$$
aber schon! In der Schreibweise mit dem Summensymbol ist
$$\cos x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{x^{2n}\over (2n)!}$$ und daher
$${\cos x-1\over x}={\cos x \over x}-{1\over x}={1\over x}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{x^{2n}\over (2n)!}-{1\over x}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n{x^{2n-1}\over (2n)!}$$
Beachten Sie, dass die letzte Reihe mit $n=1$ beginnt und daher alle auftretenden Exponenten von $x$ nicht-negativ sind!
- Ganz allgemein: Wenn Sie die Taylorreihe einer Funktion $f(x)$ um den Punkt $0$ kennen, so sollten Sie die
Reihenentwicklung von $$x^p f(a x^q)$$ für eine beliebige ganze Zahl $p$, eine beliebige positive ganze Zahl $q$
und eine beliebige reelle Zahl $a\neq 0$ ohne große Schwierigkeiten angeben können.
Tritt im Ergebnis keine negative Potenz von $x$ auf, so handelt es sich um
die Taylorreihe um den Punkt $0$ (deren Existenz damit auch bewiesen ist). Tritt im Ergebnis eine negative Potenz von $x$ auf,
so existiert in diesem Fall keine Taylorreihe um den Punkt $0$.
(Man spricht dann von einer Laurentreihe auch solche Reihen können nützlich sein).
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