Aufgabe: Ermitteln Sie die Taylorreihe der Funktion
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$$h(x)=e^{-x^2/2}$$
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$(1)$ |
um den Punkt $0$ ! Schreiben Sie sie in geschlossener Form (mit dem Summensymbol) an!
Die Taylorreihe der Exponentialfunktion darf als bekannt vorausgesetzt werden
Berechnung:
- Wir erinnern uns an die Taylorreihe der Exponentialfunktion und schreiben sie in der Form
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$$e^u=1+u+{u^2\over2!}+{u^3\over 3!}+\dots=\sum_{n=0}^\infty {u^n\over n!}$$
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$(2)$ |
an.
- Der gegebene Funktionsterm (1) hat eine ähnliche Struktur, mit dem Unterschied, dass im Exponenten $-{x^2\over2}$ steht,
wo es in (2) einfach $u$ heißt.
- Um die Formel (2) anwenden zu können, setzen wir $u=-{x^2\over2}$. Damit wird
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$$h(x)=e^{-x^2/2}=e^u=\sum_{n=0}^\infty {u^n\over n!}=\sum_{n=0}^\infty {1\over n!}\left(-{ x^2\over 2}\right)^n=
\sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n}\over2^n n!}$$
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$(3)$ |
- Obwohl es nicht verlangt ist, die ersten Reihenglieder anzuschreiben, ist es eine sinnvolle Übung:
$$h(x)=e^{-x^2/2}=1-{x^2\over 2^1\cdot 1!}+{x^4\over 2^2\cdot 2!}-{x^6\over 2^3\cdot 3!}+\dots=
1-{x^2\over 2}+{x^4\over 8}-{x^6\over 48}+\dots$$
Nachbemerkung: $(-1)^n$ drückt alternierende Vorzeichen aus,
denn $(-1)^n=1$ für gerade $n$ und $(-1)^n=-1$ für ungerade $n$. Das Auftreten von $x^{2n}$ in der Reihe (3)
drückt aus, dass nur gerade Potenzen von $x$ vorkommen. Das ist aber auch aufgrund von (1) nicht
anders zu erwarten.
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