Aufgabe: Ermitteln Sie die Lösungsmenge im $\mathbb{R}^2$ von
|
\begin{eqnarray}
2x -3y &=& 6\\
3x +5y &=& 7
\end{eqnarray}
|
$(1)$
$(2)$ |
Berechnung:
- Lösungsmethode 1: Wir wenden die Substitionsmethode an und berechnen $x$ aus (1) zu
Diese Gleichung ersetzt also (1).
Wir setzen sie in (2) ein, erhalten
|
$3\,({3\over 2}y+3)+5y=7$
|
|
und vereinfachen zu
woraus
folgt. Dies setzen wir in die verbleibende Gleichung (3) ein, die unmittelbar
|
$x=-{3\over 2}\cdot{4\over 19}+3={51\over 19}$
|
$(5)$ |
liefert. Mit (4) und (5) ist die (einzige) Lösung gefunden. Die Löungsmenge ist
|
$L=\left\{\,\left({51\over 19},-{4\over 19}\right)\,\right\}$
|
|
- Lösungsmethode 2: Wir wenden die Eliminationsmethode an. Um $x$ zu eliminieren, multiplizieren wir beide Seiten von
(1) mit $3$ und beide Seiten von (2) mit $-2$ und erhalten
|
\begin{eqnarray}
6x -9y &=& 18\\
-6x -10y &=& -14
\end{eqnarray}
|
$(6)$
$(7)$ |
Addieren wir die beiden Gleichungen, so ergibt sich
und daher
Dies setzen wir in (1) oder (2) ein und erhalten
Mit (8) und (9) ist die (einzige) Lösung gefunden. Die Löungsmenge ist
|
$L=\left\{\,\left({51\over 19},-{4\over 19}\right)\,\right\}$
|
|
Die beiden angegebenen Lösungsmengen sind natürlich identisch.
Nachbemerkung:
Geometrische Interpretation: Jede der Gleichungen (1) und (2) für sich betrachtet besitzt eine Gerade als
Lösungsmenge:
Die beiden Geraden schneiden einander im Lösungspunkt.
|