Diese interaktive Flash-Animation illustriert die Wirkung einer reellen linearen Transformation
auf Punkte der Zeichenebene R2.
Die Transformation ist durch eine reelle 2 × 2-Matrix
A definiert, deren Koeffizienten
(jeweils zwischen -5
und 5) mit Hilfe von Schiebereglern
eingestellt werden können. Dabei wird das Bild des Einheitskreises unter A
(eine Ellipse, die für manche Werte der Koeffizienten zu einer Strecke degeneriert) sowie
die Eigenwerte und Eigenräume von A
(sofern sie reell sind) angezeigt.
Animation aufrufen
Mit Hilfe der Animation können einige Grundtatsachen der linearen Algebra illustriert und
vertieft werden:
- Falls A zwei verschiedene reelle Eigenwerte besitzt, so
gibt es zwei Eigenräume; A ist diagonalisierbar.
- Falls A nur einen (reellen) Eigenwert besitzt,
so ist entweder A ein Vielfaches der Einheitsmatrix
(und daher diagonalisierbar; der zugehörige Eigenraum ist dann der ganze R2)
oder der zugehörige Eigenraum ist eindimensional (woraus folgt, dass A nicht diagonalisierbar ist).
- Ist A symmetrisch, so ist entweder A
ein Vielfaches der Einheitsmatrix oder es gibt zwei zueinander orthogonale Eigenräme. In beiden Fällen ist
A diagonalisierbar. Eine symmetrische Matrix mit positiven Eigenwerten
kann man sich als Verformung eines elastischen Körpers vorstellen. Die Eigenräume stellen dann die Richtungen der
maximalen und der minimalen Dehnung dar.
Siehe auch Beschreibung und Aufgaben.
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