ÜBUNGEN zu T2 - QUANTENMECHANIK

So.-Sem 2002

Bedingungen für ein positives Übungszeugnis:

• Teilnahme an den beiden Tests, es müssen insgesamt mindestens 50% der Summe der Punkte beider Tests erreicht werden
• Hälfte aller Beispiele muss gerechnet werden (belegt durch Ankreuzen)
• Besprechung mindestens eines Beispiels an der Tafel
• Regelmäßige Teilnahme
• Nach dem dritten Übungstag bekommt jede TeilnehmerIn ein Zeugnis, falls sie sich nicht abmeldet

Zur Erinnerung, Auffrischung oder Kennenlernen! Läuft unter den Begriffen Verallgemeinerte Funktionen, Distrbutionen, Funktionalanalysis, Fouriertransformation. Siehe Gelfand-Schilow, Verallgemeinerte Funktionen I, Lighthill, Einführung in die Fourieranalysis, Lang-Pucker, Mathematische Methoden in der Physik.

Im Weiteren stelle man sich die reellen Funktionen (x), definiert auf dem R₁ der reellen Zahlen immer als endliche Linearkombinationen von Funktionen der Gestalt

vor, wobei ganze Zahl und a, d beliebige reelle Zahlen sind.

1) Sei die Stufenfunktion mit

zeige daß

2) Zeige, daß

wobei (x) die Diracsche -Funktion (genauer ein lineares Funktional) ist, definiert durch

Anleitung: betrachte z.B. oder die Fouriertransformierte des d-Funktionals.

wie muß die -Funktion "aussehen", damit das geht?

3) Zeige, daß

Hinweis: betrachte z.B.

4) Zeige, daß

Hinweis: erstrecke die Summe zunächst nur auf endliche, um den Nullpunkt symmetrische ganze Zahlen und bilde dann den Limes unter Anwendung von 2)

5) Zeige, daß das Funktionensystem

im Intervall vollständig und orthonormiert ist, d.h. jede stetige und mit 2L periodische Funktion kann eindeutig nach diesem Funktionensystem entwickelt werden.

6) Unter Benutzung der Fouriertransformation für Funktionen auf dem R₁

zeige, daß das Funktionensystem

vollständig und orthonormiert (im verallgemeinerten Sinn von -Funktionen, die die Kronecker im Fall abzählbarer Funktionen ersetzen) ist.

7) Man bestimme im Eindimensionalen die gebundenen Zustände für einen unendlich hohen Potentialtopf, d.h.

durch Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung

8) Man bestimme im Eindimensionalen die gebundenen Zustände für den endlichen Potentialtopf

durch Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung

9) Für eine Potentialstufe

bestimme man den Durchlässigkeits- und Reflexionskoeffizienten für Energien durch Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung.