Übungen zu T1 – MECHANIK

Wi.-Sem. 2001/2002

1. Eine Galileitransformation ist durch

mit definiert. Man zeige, dass die Galileitransformationen eine Gruppe bilden. Ist die Gruppe abelsch?

2. Man berechne die inverse Transformation zu Beispiel 1. Man suche nach Untergruppen der Galileitransformationen. Gibt es abelsche Untergruppen?

3. Sei ein Einheitsvektor. Man zeige, dass normal auf steht und gebe die Winkelgeschwindigkeit als Funktion von und an.

4. Ein Seil der Länge L liege ausgestreckt auf einem Tisch und gleite dann der Länge nach unter dem Einfluss der Schwerkraft über die Tischkante herab (reibungslos und ohne der Verbiegung Widerstand zu leisten). Man bestimme die Bewegungsgleichung für den Anfangspunkt des Seiles, löse diese und zeige, dass der Energiesatz gilt.

5. Der Massenpunkt m gleite ohne Reibung aus einer Höhe H die Bahn herunter. Wie groß muß H mindestens sein, damit m den Loop mit dem Radius R durchläuft und nicht von der Bahn abhebt?

6. Man bestimme die Lagrangefunktion für das ebene Dopplependel.

7. Man löse die Bewegungsgleichungen für das ebene Doppelpendel für kleine Schwingungen.

8. Zur Variationsrechnung. Sei y(x) eine (ebene) Kurve durch die beiden Punkte (x₁, y₁) und (x₂, y₂), mit y₂<y₁ und x₁≠x₂. Die Fallzeit eines Körpers entlang dieser Kurve ist gegeben durch das Kurvenintegral (wieso?)

Berechne diejenige Kurve, für welche die Fallzeit ein Minimum ist (Brachystochrone)

9. Ein Körper mit Masse m, Anfangsgeschwindigkeit v₀ und Anfangslage x₀ fällt senkrecht im konstanten Schwerefeld unter einem Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit. Man löse die Bewegungsgleichung. Gibt es eine konstante Endgeschwindigkeit?

10. Gegeben sei folgende Lagrangefunktion eines Teilchens:

Dabei soll q die elektrische Ladung des Teilchens sein. Stelle die Bewegungsgleichungen auf und vergleiche den Ausdruck mit der Lorentzkraft. Was sind die Interpretationen der beiden Funktionen und ?

Wie lautet der Ausdruck für die Energie des Systems?

11. Man zeige, dass die Fluchtgeschwindigkeit eines Körpers im Abstand r vom Erdmittelpunkt das -fache der Geschwindigkeit für eine stabile Kreisbahn in diesem Abstand beträgt.

12. Zum Keplerproblem. Berechne aus der Bewegungsgleichung für den Radius r in einem Potential V(r)=-k/r,

die Gleichung der Bahnkurve . Hinweis: Integriere die Gleichung zunächst einmal um den Energiesatz zu bekommen, sodann substituiere für die Zeitableitung von r die Ableitung nach , d.h.

und integriere noch einmal, um zu erhalten. Hierbei ist es hilfreich, den inversen Radius als Variable zu substituieren. Unterscheide dabei die Fälle k größer oder kleiner 0, sowie Energie größer oder kleiner 0.

13. Die Gleichung

ist die Gleichung eines Kegelschnitts in Polarkoordinaten, wobei der Koordinatenursprung in einem Brennpunkt liegt. Stelle die entsprechenden Gleichungen in kartesischen Koordinaten auf und gib den Zusammenhang zwischen den beiden Halbachsen a und b mit dem Parameter p und der Exzentrizität an. Drücke die beiden Halbachsen auch durch die physikalischen Integrationskonstanten Energie und Drehimpuls aus. Diskutiere insbesondere die Fälle: sowie .

14. Hyperbelbahnen. Im Fall sind die Bahnen Hyperbeln. Diskutiere graphisch den Unterschied in der Bahnkurve für k positiv (anziehendes) oder k negativ (abstoßendes Potential). Wie groß ist in beiden Fällen der Streuwinkel als Funktion von und p bzw. als Funktion von E und ?

15. Ein Nachrichtensatellit bewege sich auf einer Kreisbahn in der durch den Erdäquator festgelegten Ebene. In welchem Abstand vom Erdmittelpunkt muss sich der Satellit befinden, damit seine Bahn geostationär wird?

Vergleiche das Ergebnis mit dem Abstand des Mondes von der Erde.

16. Für das mathematische ebene Pendel diskutiere die Kurven im Phasenraum (verallgemeinerte Koordinate und dazu gehörender Impuls als Achsen).

17. Welche Komponenten des Impulses und des Drehimpulses bleiben bei der Bewegung eines Teilchens in folgenden Feldern erhalten:

a) Feld einer unendlichen homogenen Ebene (die unendliche Ebene sei die xz-Ebene)

b) Feld eines unendlichen homogenen Kreiszylinders (die Zylinderachse sei die x-Achse)

c) Feld eines unendlichen homogenen Prismas (die Kanten des Prismas verlaufen parallel zur y-Achse)

d) Feld von zwei auf der y-Achse befindlichen Punkten

18. Wie Beispiel 17) für folgende Felder:

a) Feld einer unendlichen, homogenen Halbebene

b) Feld eines homogenen Kegels

c) Feld eines homogenen Kreisringes

19. Welche Erhaltungsgröße gibt es bei der Bewegung im Feld einer unendlichen homogenen Schraubenlinie mit Ganghöhe h?

20. Berechne für die Lagrangefunktion des Beispiels 10) (geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld) die Kanonischen Impulse und stelle die Hamiltonfunktion auf.

21. Stelle für die Hamiltonfunktion von Beispiel 20) die Hamiltonschen Gleichungen auf und vergleiche das Ergebnis mit dem Ergebnis für die Bewegungsgleichungen aus Beispiel 10)

22. Für ein Teilchen in einem äußeren elektrischen und magnetischen Feld (siehe Beispiele 10, 20 und 21) berechne man die Poisson-Klammern der Geschwindigkeiten

23. Man berechne die Poisson-Klammer der z-Komponente des Drehimpulses mit einer Funktion und vergleiche das Ergebnis mit der Änderung von unter einer infinitesimalen Drehung um die z-Achse.

24. Man berechne die Poisson-Klammern des Drehimpulses

25. Für den harmonischen Oszillator mit der Hamiltonfunktion

finde man eine erzeugende Funktion für diejenige kanonische Transformation, die zu der neuen Hamiltonfunktion

führt. Man löse die Hamiltonschen Gleichungen für Q und P und benutze die erzeugende Funktion um die Lösungen q und p zu erhalten.

26. Für ein freies Teilchen, das sich zum Zeitpunkt t1 am Ort q1 und zum späteren Zeitpunkt t2 am Ort q2 befindet (das bestimmt die Integrationskonstanten) berechne man die Wirkung

Zeige, dass gilt

(Energie zum Zeitpunkt t2)

27. Zeige, dass das spezielle Resultat von 26) ganz allgemein gilt

28. Man leite die allgemeine Lösung für die Auslenkung y(x, t) einer eingespannten Saite der Länge L mit den Anfangsbedingungen

ab.

29. Wie in Bsp. 28) für eine eingespannte rechteckige Membran, die entsprechende Wellengleichung lautet

30. Die Wellengleichung einer in den Punkten und eingespannten schwingenden Saite ist gegeben durch

zeige daß die Größe

eine Erhaltungsgröße ist. Um welche Erhaltungsgröße handelt es sich dabei?

31. Wie ist die Gestalt der Oberfläche einer Flüssigkeit , die in einem vertikalen kreiszylindrischem Gefäß samt diesem mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die Zylinderachse gleichförmig rotiert? Hinweis: wende Eulersche Gleichungen an.

32. Berechne die "barometrische" Höhenformel für eine inkompressible Flüssigkeit und für ein ideales Gas mit Hilfe der Eulerschen Gleichung für den statischen Fall.

33. Sei Φ(x,y) das Geschwindigkeitspotential einer inkompressiblen, wirbelfreien Strömung. Welche Differentialgleichung muss Φ(x,y) erfüllen?

Zeige, dass der Real- oder Imaginärteil einer beliebigen komplexen Funktion f(z) ebenfalls diese Differentialgleichung erfüllen. Wie ist der geometrische Zusammenhang zwischen Äquipotentiallinien und Stromlinien?

34. Diskutiere die beiden zweidimensionalen Strömungen die aus der komplexen Funktion f(z) = a ln(z), a reell, abgeleitet werden können.

35. Berechne die Strömungsgeschwindigkeiten für die beiden Strömungen aus 33) und berechne für sie die Divergenz und Rotation. Was ergibt sich für die Zirkulation?

36. Man berechne das Geschwindigkeitspotential für die Strömung einer idealen, inkompressiblen Flüssigkeit um eine Kugel vom Radius R. Welche Kraft wirkt auf die Kugel?

Hinweis: Man löse in Kugelkoordianten die Gleichung ΔΦ = 0 mit den Randbedingungen, dass die Strömung im Unendlichen parallel zur z-Achse verläuft und in die Kugel keine Flüssigkeit eindringen kann, benutze die Entwicklung von Φ(r, φ, θ) nach Kugelflächenfunktionen als Ansatz für die Lösung (oder Hinweis: Greiner, Hydrodynamik)

37. Man löse den harmonischen Oszillator mit Hilfe der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung.