Proseminar zu T2, Sommersemester 2002

25) Diskutieren Sie die Zeitentwicklung im Schrödinger- und im Heisenbergbild.

26) Heisenbergbild: Berechnen Sie $\dot{P}(t)$ und $\dot{X}(t)$ für den Hamiltonoperator $H= P^2/2m +V(X)$ (eindimensionale Bewegung).

27) Freies Teilchen: $H= P^2/2m$. Verwenden Sie das Ergebnis von Bsp. 26 um $\dot{P}(t)$ und $\dot{X}(t)$ anzugeben. Lösen Sie die Bewegungsgleichung (m.a.W. drücken Sie $P(t)$ bzw. $X(t)$ durch $P(0)$ bzw. $X(0)$ aus). Berechnen Sie Mittelwerte und Schwankungsquadrate der Operatoren $P(t)$ und $X(t)$ in einem beliebigen Zustand. Spezialisieren Sie Ihr Ergebnis sodann auf den Zustand von Bsp. 13. (Zerfließen des Wellenpakets.)

28) Wie Bsp. 27, jedoch für $H = P^2/2m + m \omega^2 X^2/2$.

29) Wie Bsp. 27, jedoch für ein Teilchen in einem konstanten Gravitationsfeld: $H = P^2/2m + m g X$.

30) Berechnen Sie die Energieeigenfunktionen des Hamiltonoperators von Bsp. 29 in der Impulsdarstellung.

31) Ein geladenes Teilchen (Ladung $q$) mit Spin $\hbar/2$ und magnetischem Moment

$$\vec{\mu} = g \frac{q}{2 m} \vec{S}$$

befinde sich in einem zeitlich und räumlich konstanten Magnetfeld $\vec{B}$. Der Hamiltonoperator des Spins ist daher

$$H = - \vec{\mu} \cdot \vec{B}$$

Sie können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass das Magnetfeld in Richtung der positiven z-Achse zeigt ( $\vec{B} = B \vec{e}_z$).

a) Diskutieren Sie die Zeitentwicklung eines beliebigen Zustands im Schrödingerbild. Verwenden Sie dabei den Zusammenhang zwischen

$$U(t) = \exp (-i H t / \hbar)$$

und der physikalischen Bedeutung des unitären Operators von Bsp. 20.

b) Führen Sie die analoge Diskussion unter Verwendung des Heisenbergbildes.

Das magnetische Moment des Elektrons

Das im vorigen Beispiel eingeführte gyromagnetische Verhältnis $g$ liegt für ein Elektron ziemlich nahe bei 2. Die Abweichung von diesem Wert, die üblicherweise durch die Größe

$$a = \frac{g - 2}{2}$$

angegeben wird, kann mit Hilfe der Quantenelektrodynamik berechnet werden. In niedrigster nichttrivialer Ordung ergibt sich $a = \alpha / 2 \pi$, wobei $\alpha$ die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante ist. Diese sogenannte Anomalie des magnetischen Moments des Elektrons kann folgendermaßen bestimmt werden: Das Elektron mit Masse $m$ und Ladung $q$ ($q = - e < 0$) bewege sich im Magnetfeld $\vec{B} = B \vec{e}_z$. Der Hamiltonoperator des Elektrons ist dann

$$H = \frac{1}{2m} (\vec{p} - q \vec{A})^2 - \vec{\mu} \cdot \vec{B} ,$$

wobei $\vec{A} = \vec{B} \times \vec{x} /2$ das Vektorpotential des statischen Magnetfeldes $\vec{B}$ ist.

32) Überprüfen Sie: $\vec{B} = \mathrm{rot} \vec{A}$.

33) Verifizieren Sie die folgenden Kommutatorrelationen:

$$[H,v_x]= - i \hbar \omega v_y, \quad [H,v_y] = i \hbar \omega v_x, \quad [H,v_z] = 0 ,$$

wobei $\vec{v} = (\vec{p} - q \vec{A})/m$ der Geschwindigkeitsoperator und $%\omega = q B /m$ ist.

34) Betrachten Sie die drei Erwartungswerte (in einem beliebigen Zustand)

$$C_{1}(t)=\langle S_{z}(t)v_{z}(t)\rangle ,\quad C_{2}(t)=\la... ...ray}C_{3}(t)=\langle S_{x}(t)v_{y}(t)-S_{y}(t)v_{x}(t)\rangle$$

Ermitteln Sie die Zeitentwicklung dieser drei Größen. Zeigen Sie, dass sich ein System von drei linearen Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten ergibt. (Hinweis: Es tritt die Größe $\Omega =a\omega$ auf.)

35) Was ist die allgemeine Lösung für die Zeitentwicklung von $%\langle \vec{S}(t) \cdot \vec{v}(t) \rangle$?

36) Ein Strahl von Elektronen mit Geschwindigkeit $\langle \vec{v}%(t) \rangle$ wird zum Zeitpunkt $t = 0$ in einem Spinzustand mit gegebenen Werten von $C_1(0)$, $C_2(0)$, $C_3(0)$ präpariert. Zum einem späteren Zeitpunkt $t$ wird nun die Größe $\langle \vec{S}(t) \cdot \vec{v}(t) \rangle$ gemessen. Wie kann auf diese Weise die Anomalie $a$ bestimmt werden?

Literaturhinweis: D.T. Wilkinson, H.R. Crane, Phys. Rev. 130 (1963) 852. (http://publish.aps.org/ oder ZB$\mathrm{\Phi}$. Benützen Sie die experimentellen Daten für eine numerische Diskussion.)