Proseminar zu T2, Sommersemester 2002

13) Betrachten Sie den Spezialfall einer reellen Wellenfunktion $\varphi (x)$ in einer Dimension. Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Erwartungswert des Impulses verschwindet.

14) Die Wellenfunktion eines Teilchens mit einem Freiheitsgrad habe die Form

$$\psi (x) = \varphi (x) e^{i p_0 x / \hbar}$$

mit reellem $p_0$ und einer reellen Funktion $\varphi$ mit $\int dx \varphi(x)^2 = 1$. Welche physikalische Bedeutung besitzt dann die Größe $p_0$?

15) Gegeben sei die Wellenfunktion (in einer Dimension)

$$\psi (x) = {\cal N} e^{-a\vert x\vert} e^{i p_0 x /\hbar}, \qquad \qquad a > 0, p_0 \in {\rm\bf R}.$$

Bestimmen Sie den Normierungsfaktor ${\cal N}$. Berechnen Sie die Erwartungswerte von $x, x^2, p, p^2$ in diesem Zustand. Geben Sie $\Delta x$ und $\Delta p$ an und überprüfen Sie die Unschärferelation.

16) Bestimmen Sie für den Zustand von Bsp. 15 die dazugehörige Wellenfunktion $f(p)$ im Impulsraum. Skizzieren Sie $\vert f(p)\vert^2$.

17) Überprüfen Sie die Ergebnisse für die Erwartungswerte von Bsp. 15 durch die entsprechende Rechnung im Impulsraum.

18) Unschärferelation. $A, B$ seien zwei hermit. Operatoren. Zeigen Sie, dass für einen beliebigen Zustand $\psi$ (Normierung $\langle \psi \vert \psi \rangle = 1$) stets die folgende Ungleichung erfüllt ist:

$$\Delta A \Delta B \ge \vert\langle \psi \vert \frac{i}{2} [A,B] \psi \rangle\vert,$$

wobei $(\Delta A)^2 := \langle \psi \vert (A- \langle \psi \vert A \psi \rangle)^2 \psi \rangle$, $\Delta B$ analog.

Hinweis: Bilden Sie den (nichthermit.) Operator

$$Z := \frac{A - \langle \psi \vert A \psi \rangle}{\Delta A} + i \frac{B - \langle \psi \vert B \psi \rangle}{\Delta B}$$

und die (trivialerweise erfüllten) Ungleichungen

$$\langle Z \psi \vert Z \psi \rangle = \langle \psi \vert Z^{... ...rangle = \langle \psi \vert Z Z^{\dagger} \psi \rangle \ge 0.$$