12 Parameterdarstellung und Linienintegral

Mathematische Grundlagen für das Lehramtsstudium Physik

Franz Embacher, Universität Wien, 2008
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/grundlagen/

Grafische Darstellung von Kurven

in der Ebene

ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,Pi}]

im Raum

ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/5},{t,0,4π}]

Beispiele

Gerade (in zwei DImensionen)

ParametricPlot[{2+3t,4-7t},{t,0,1},AspectRatio->1]

Mit der Option AspectRatio wird der Verhältnis Seitenverhältnis (Höhe zu Breite) des Bildes geregelt.

Schiefer Wurf (in zwei Dimensionen)

ParametricPlot[{2+t,3+2t-(t^2)},{t,0,3}]

Zykloide

ParametricPlot[{λ-Sin[λ],1-Cos[λ]},{λ,0,2π}]
ParametricPlot[{λ-Sin[λ],1-Cos[λ]},{λ,0,6π},ImageSize->600]

Das Symbol λ erhalten Sie durch ESC+l+ESC.

Interaktive Visualisierung der Parameterdarstellung in zwei und drei Dimensionen

Führen Sie die untenstehende Zelle aus!
Ändern SIe den mit dem Schieberegler eingestellten Parameterwert t, so durchläuft der entsprechende Kurvenpunkt (Overscript[x, ->])(t) die Kurve. Sie können auch andere Parameterdarstellungen (in zwei oder drei Dimensionen) in den Zeilen eintragen, die mit den Kommentaren (* Parameterintervall *) und (* Parameterdarstellung *) gekennzeichnet sind.

Manipulate[

{t0,t1}={0,4π}; (* Parameteri6ntervall *)
xPfeil[t_]={Cos[t],Sin[t],t/5}; (* Parameterdarstellung *)

If[Length[xPfeil[t0]]==2,
Show[ParametricPlot[xPfeil[t],{t,t0,t1}],
Graphics[{PointSize[Large],Red,Point[{xPfeil[tSchieber]}]}]],
Show[ParametricPlot3D[xPfeil[t],{t,t0,t1}],
Graphics3D[{PointSize[Large],Red,Point[{xPfeil[tSchieber]}]}]]],
{{tSchieber,t0,"t"},t0,t1,Appearance->"Labeled"}]

Linienintegrale

Berechnung eines Linienintegrals

Sie können mit dieser Mathematica-Syntax auch andere Linienintegrale (in zwei oder drei Dimensionen) berechnen. Tragen Sie das Vektorfeld, die Kurve und das Parameterintervall in die entsprechend gekennzeichneten Zeilen ein!

F={y,z^2,x y+z}; (* Vektorfeld *)
xKurve[t_]={R Cos[t],R Sin[t],c t}; (* Kurve in Parameterdarstellung *)
grenzen={0,2π}; (* Parameterintervall *)
Integrate[xKurve'[t].(F/.{x->xKurve[t][[1]],y->xKurve[t][[2]],z->xKurve[t][[3]]}),{t,grenzen[[1]],grenzen[[2]]}]

Berechnung mit Anzeige der Zwischenergebnisse

Damit werden die Zwischenergebnisse der Berechnung angezeigt.

F={y,z^2,x y+z}; (* Vektorfeld *)
xKurve[t_]={R Cos[t],R Sin[t],c t}; (* Kurve in Parameterdarstellung *)
grenzen={0,2π}; (* Parameterintervall *)
Print["Gegeben sind:"];
Print["   (Overscript[F, ->])((Overscript[x, ->])) = ",F];
Print["   (Overscript[x, ->])(t) = ",xKurve[t]];
Print["   t0 = ",t0,", t1 = ",t1];
Print["Vorbereitende Schritte:"];
Print["   (Overscript[F, ->])((Overscript[x, ->])(t)) = ",Fx=F/.{x->xKurve[t][[1]],y->xKurve[t][[2]],z->xKurve[t][[3]]}];
Print["   (OverDot[(Overscript[x, ->])])(t) = ",tang=xKurve'[t]];
Print["   (OverDot[(Overscript[x, ->])])(t)·(Overscript[F, ->])((Overscript[x, ->])(t)) = ",sk=tang.Fx];
Print["Integration:"];
Print["  (∫_t0^t1)dt (OverDot[(Overscript[x, ->])])(t)·(Overscript[F, ->])((Overscript[x, ->])(t)) = ",linienintegral=Integrate[sk,{t,grenzen[[1]],grenzen[[2]]}]];
Print["Das Resultat lautet daher:"];
linienintegral