6 Fehlerrechnung

Mathematische Grundlagen für das Lehramtsstudium Physik

Franz Embacher, Universität Wien, 2008
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/grundlagen/

Wenn Sie einzelne Zellen dieses Notebooks ändern und selbst ausführen wollen, so beachten Sie bitte, dass manche der Befehle Daten benötigen, die in einer vorhergehenden Zelle definiert sind. Um diese einzulesen, müssen Sie einfach die betreffende Zelle ausführen.

Listen

liste1={1.3,3.0,-1.12, 4.7,2.9} (* einfache Datenliste *)
Length[liste1] (* Länge der Liste = Zahl der Elemente *)
Tr[liste1] (* Summe der Elemente der Liste *)

Statistische Analyse einer einfachen Datenliste

Mittelwert, Varianz und Standardabweichung

Mean[liste1] (* Mittelwert *)
Mean[(liste1-%)^2] (* Varianz, Formel 1 *)
Mean[liste1^2]-Mean[liste1]^2 (* Varianz, Formel 2 *)
Sqrt[Mean[liste1^2]-Mean[liste1]^2 ] (* Standardanbeichung *)

Grafische Darstellung

liste={-3.3,3.6,2.5,2.3,2.8,-0.8,-1.2,0.1,1.6,0.4}
ListPlot[Table[{liste[[j]],0},{j,1,Length[liste]}],Axes->{True,False},PlotStyle ->{PointSize[0.015], Red},AspectRatio->0.2]

Statistische Analyse einer Stichprobe: Schätzungen

liste={4.3,3.6,5.1, 4.2,3.9} (* Messwerte der Stichprobe *)
Variance[liste] (* beste Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit *)
StandardDeviation[liste] (* beste Schätzung der Standardabweichung der Grundgesamtheit *)
StandardDeviation[liste]/Sqrt[Length[liste]] (* mittlerer Fehler des Mittelwerts *)

Statistische Analyse einer Liste von Datenpaaren: Regression und Korrelation

Definition einer Liste von Datenpaaren

xListe={1.1,2.4,3.1,5.2,4.4,3.4,1.8,3.8}
yListe={1.2,2.3,2.5,4.4,4.7,3.8,2.1,3.6}
listePaare=Table[{xListe[[j]],yListe[[j]]},{j,1,Length[xListe]}]

Grafische Darstellung einer Punktwolke

grafikPunktwolke=ListPlot[listePaare,PlotStyle ->{PointSize[0.015], Blue},AxesOrigin->{0,0}]

Korrelationskoeffizient und Ausgleichsgerade

Benötigt die in der vorigen Zelle definierte Grafik grafikPunktwolke.

Correlation[xListe,yListe] (* Korrelationskoeffizient *)
Fit[listePaare,{1,x},x] (* Funktionsterm der Ausgleichsgeraden *)
Show[grafikPunktwolke,Plot[%,{x,-0.5,5.5},PlotStyle->Red]] (* grafische Darstellung *)

Ergänzung: Nichtlineare Regression

Mit der oben definierten Liste von Datenpaaren listePaare werden hier Regressionen höherer Ordnung durchgeführt.

Quadratische Regression

Fit[listePaare,{1,x,x^2},x]
Show[grafikPunktwolke,Plot[%,{x,-0.5,5.5},PlotStyle->Red]]

Kubische Regression

Fit[listePaare,{1,x,x^2,x^3},x]
Show[grafikPunktwolke,Plot[%,{x,-0.5,5.5},PlotStyle->Red]]

Regression vierter Ordnung

Fit[listePaare,{1,x,x^2,x^3,x^4},x]
Show[grafikPunktwolke,Plot[%,{x,-0.5,5.5},PlotStyle->Red],PlotRange->{-2,5}]

Regression 7. Ordnung

Fit[listePaare,{1,x,x^2,x^3,x^4,x^5,x^6,x^7},x]
Show[grafikPunktwolke,Plot[%,{x,-0.5,5.5},PlotStyle->Red],PlotRange->{-6,15}]

Fällt Ihnen bei dieser Grafik etwas auf? Können Sie es erklären?