Sphärisch symmetrische Verteilung eines ideales Gases unter dem Einfluss seiner (nichtrelativistisch behandelten) Eigengravitation.
Der Radius ist $R$, die Masse $M$. Dichte, Druck und Temperatur sind radialsymmetrisch.
Für $r \leq R$ ist die Masse innerhalb von $r$ durch $${\cal M}(r)=4\pi\int_0^r dr'\,r'^2\rho(r')$$
(mit ${\cal M}(R)=M$) und die Gravitationsfeldstärke bei $r$ durch
$$F(r)=-{G{\cal M}(r)\over r^2}=-V{\,\,}'(r)$$
($V=$ das bis auf eine additive Konstante bestimmte Gravitationspotential) gegeben.
Die Druckänderung pro $dr$ ist gleich
$$p'(r)=-{G\rho(r)\over r^2}{\cal M}(r)\equiv -{4\pi G\rho(r)\over r^2}\int_0^r dr'\,r'^2\rho(r')$$
mit $p(R)=0$. Das ist äquivalent zur Differentialgleichung
$${d\over dr}\left({r^2\over\rho(r)}{dp(r)\over dr}\right)=-4\pi G r^2\rho(r)$$
mit den Randbedingungen $p(R)=0$ und $p'(0)=0$.
Wird angenommen, dass das ideale Gas aus Teilchen der Masse $m$ besteht, und wird der Strahlungsdruck
vernachlässigt, so gilt die ideale Gasgleichung in der Form
$${p(r)\over\rho(r)}={k\,T(r)\over m}\,\sf{\small.}$$
Jedes Teilchen besitzt zwischen zwei Stößen eine konstante Gesamtenergie
$$E_{\sf kin}+mV(r)=E\sf{\small.}$$
Bei Auf- oder Abstieg im Gravitationsfeld ändert sich die kinetische Energie daher um
$dE_{\sf kin}=-mdV(r)$. Mit $\langle E_{\sf kin}\rangle={3\over 2}kT$ folgt
$$T{\,\,}'(r)=-{2m\over 3k}V{\,\,}'(r)= {2m\over 3k}F(r)=-{2m\over 3k}{G{\cal M}(r)\over r^2}
\equiv -{2m\over 3k}{2\pi G\over r^2}\int_0^r dr'\,r'^2\rho(r')\sf{\small.}$$
(Das ist eine etwas vereinfachte Sichtweise, da der tatsächliche Temperaturverlauf in einem Stern durch die
ortsabhängige Energiefreisetzung mitbestimmt wird die Kernfusion findet vor allem in einem inneren Kern statt,
der in der Sonne gerade einmal bis zu einem Viertel des Radius reicht, s. d.).
Aus den bisherigen Beziehungen folgt
$$p'(r)={3k\over 2m}\rho(r)T{\,\,}'(r)$$
und, mit der idealen Gasgleichung,
$${p'(r)\over p(r)}={3\over 2}{T{\,\,}'(r)\over T(r)}\,\sf{\small,}$$
woraus folgt
$$T(r)=T_0 \left(p(r)\over p_0\right)^{2/3}\,\sf{\small,}$$
wobei $p_0$ und $T_0$ Druck und Temperatur im Mittelpunkt bezeichnen. Weiters folgt mit der idealen Gasgleichung
(und ${p_0\over\rho_0}={k\over m}T_0$)
$$p(r)=p_0 \left(\rho(r)\over \rho_0\right)^3\sf{\small.}$$
Es folgen die Proportionalitäten:
$T(r)\sim p(r)^{2/3}\sim \rho(r)^2$ (wobei die Proportionalitätskonstanten noch die unbestimmten Parameter $T_0$, $p_0$ und $\rho_0$ enthalten). An der Oberfläche gilt $p(R)=\rho(R)=T(R)=0$. Die obige Differentialgleichung wird zu $${d\over dr}\left(r^2 \rho(r){d\rho(r)\over dr}\right)=-{4\pi G\over 3}{\rho_0^3\over p_0}\,r^2\rho(r)$$ oder $${1\over r^2}{d\over dr}\left(r^2{d\over dr}\rho(r)^2\right)=-{2\pi G\over 3}{\rho_0^3\over p_0}\,\rho(r)\sf{\small,}$$ was gleichbedeutend mit $$ \bigtriangleup \rho(r)^2=-{2\pi G\over 3}{\rho_0^3\over p_0}\,\rho(r)$$ ist. Mit $$\xi=r\sqrt{{2\pi G\over 3}{\rho_0^2\over p_0}}$$ und $\rho(r)=\rho_0 f(\xi)$, woraus $f(0)=1$ folgt, wird das zu $${1\over \xi^2}{d\over d\xi}\left(\xi^2{d\over dr}f(\xi)^2\right)=-\,f(\xi)\sf{\small.}$$ Da zudem $f{\,}'(0)=0$ gilt (Differenzierbarkeit!), ist damit eine eindeutige Lösung $f$ festgelegt. Näherungsweise ist sie durch $$f(\xi)\approx 1-{\xi^2\over 4}$$ gegeben. Hier zum Vergleich die Graphen von $f(\xi)$ (rot) und $1-{\xi^2\over 4}$ (blau): Es gilt also näherungsweise $$\rho(r)\approx \rho_0\left(1-{\pi G\over 6}{\rho_0^2\over p_0}\,r^2\right)= \rho_0\left(1-{\pi Gm\over 6k}{\rho_0\over T_0}\,r^2\right)\sf{\small.}$$ Der Sternradius ist daher ungefähr gleich $$R\approx \sqrt{{6 p_0\over \pi G\rho_0^2}}=\sqrt{{6kT_0\over \pi G m \rho_0}}\,\sf{\small.}$$ Die Sternmasse ist ungefähr gleich $$M\approx 4\pi\rho_0\int_0^R dr\,r^2 \left(1-{\pi G\over 6}{\rho_0^2\over p_0}\,r^2\right)={4\pi\over 3}\rho_0 R^3- {2G\pi^2\over 15}{\rho_0^3\over p_0}R^5={8\pi\over 15}\rho_0 R^3\sf{\small.}$$ Bei der Berechnung von $R$ aus der Dichte muss also im Vergleich zur naiven Berechnung, in der die Dichte als konstant behandelt wird, ${8\pi\over 15}\approx 1.7$ statt ${4\pi\over 3}\approx 4.2$ als Vorfaktor verwendet werden. Die obige Gleichung für $R$, mit $\rho_0$ eliminiert, wird zu $$R\approx {5GMm\over 16 k T_0}\sim {1\over T_0}\,\sf{\small.}$$ Also auch hier: Wächst $T_0$, so schrumpft $R$ ! Es folgt weiters $$p_0\approx {75GM^2\over 128\pi R^4}\approx {1536 k^4T_0^4\over 25\pi G^3m^4M^2}\,\sf{\small.}$$ Zuletzt eine Konsistenzüberlegung: Wie gravierend ist die Vernachlässigung des Strahlungsdrucks (s.a. d.)? Er beträgt $$p_{\sf rad}={1\over 3}a T^4={1\over 3}\rho_{\sf rad} c^2$$ mit $a={4\sigma\over c}=7.566\cdot 10^{-16}\,{\rm J\,m}^{-3}{\rm K}^{-4}$. Der Vergleich mit dem Gasdruck im Zentrum (mit $m\approx 0.8u\approx 1.3\cdot 10^{-27}\,{\rm kg}$, das entspricht dem mittleren Wert für die Sonne) liefert $${p_{\sf rad}\over p_0}\approx{25\pi a G^3m^4M^2\over 4608k^4}\approx\left(M\over 30M_\odot\right)^2\,\sf{\small,}$$ d.h. im Sonneninneren dominiert bei weitem der Gasdruck. Nur in wesentlich massereicheren Sternen als der Sonne dominiert der Strahlungsdruck. |