Mathematik fürs Mathematikstudium
Mathematik für das Physikstudium
Nötige Voraussetzungen: must have
- Neues in das vorhandene Wissen und in die vorhandenen Kompetenzen
integrieren können, verschiedene Kompetenzen kombinieren können
- Allgemeine Formeln und Beziehungen
z. B.
|
d |
f(x(t),y(t)) = |
∂ f(x(t),y(t)) |
|
dx(t) |
+ |
∂ f(x(t),y(t)) |
|
dy(t) |
|
dt |
∂x |
|
dt |
∂y |
|
dt |
- neue Funktionsdefinitionen (z.B. Gammafunktion)
- Verwendung anderer Symbole ( x(t), Ableitungen,...)
- Begriff der Differentialgleichung
- Begriff der reellen Zahlen
- Operieren mit Mengen
- Mengendefinitionen {x|...}
- Menge aller reellen x, die |x - a| < b erfüllen
- Operieren mit Termen ("Rechnen mit Formeln")
- Terme umformen, Klammern- und Bruchrechnen!
- Strukturen in Termen erkennen
- Terme in Terme einsetzen können ("Abkürzunghen
verwenden")
- Gleichungen
- Begriff der Lösungsmenge
- lineare und quadratische Gleichungen lösen
- Gleichungen mit Parametern ("Konstanten")
- Operieren mit Funktionen
- Funktionsbegriff, Funktionsschreibweise
- Graphen zeichnen, Graphen interpretieren
- Spezielle Funktionen, elementare Eigenschaften und Graphen
- Polynomfunktionen, Potenzfunktionen
- Exponentialfunktionen (auch zur Basis e)
- Logarithmusfunktionen (vor allem ln)
- Winkelfunktionen (im Dreieck, Graphen)
- Statistische Kennzahlen, elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- Analytische Geometrie
- mit Geraden- und Ebenengleichungen operieren
- Vektorbegriff, Vektorrechnung, geometrische Deutungen (Skalarprodukt!)
- Kreis, Kugel, Kegelschnitte
- Parameterdarstellung der Geraden
- Grenzprozesse (Folgen, Konvergenz)
- Differenzieren
- Differentiationsregeln kennen (und formulieren können)
- Differentiationsregeln anwenden
- Integrieren
- Integralbegriff
- Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- einfache Integrale berechnen
- Regeln zum Umgang (Umformungen) mit Integralen und Integrationsvariablen
Nötige Voraussetzungen: nice to
have
- positive Einstellung zur Mathematik
- mathematische Logik und ihre Ausdrucks- und Schreibweisen
- "für alle", "es existiert", Bedeutungen
des Gleichheitszeichens
- Operieren mit mathematischen Sachverhalten (in denen nichts "ausgerechnet"
wird)
- über mathematische Themen sprechen
- algebraische/analytische Sachverhalte geometrisch interpretieren
z. B.
- 2 Funktionen (x(t), y(t)) ... Kurve in der Ebene
- 3 Funktionen von 3 Variablen (Fx(x,y,z), Fy(x,y,z),
Fz(x,y,z) = "Vektor von Funktionen" = Vektorfeld
- px2 + py2 + pz2
= 2mE ... Kugel mit Radius (2mE)1/2 im Impulsraum
- keine Angst vor Integralen haben!
- komplexe Zahlen
- Ungleichungen
- Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten
- Parameterdarstellung von Kurven
- Graphen von Funktionen in 2 Variablen
- Summensymbol
- Matrizen
Typische Defizite, Beispiele
- Viele Studierende wissen nicht, was sie nicht wissen!
- geringe Selbständigkeit; viele Studierende erwarten, dass ihnen
alles "vorgekaut wird"
- mangelnde Bereitschaft, der Beschäftigung mit Mathematik ein
ausreichendes Zeitbudget einzuräumen
- Schwierigkeiten, eine längere mathematiche Argumentation durchzuführen
oder durchzuhalten (z.B. ebene Wellen, siehe unten)
- Defizite bei Termumformungen, Umgang mit Klammern und Brüchen
- Defizite beim Umgang mit Funktionen
z. B.: Werte e|x| an der Stelle x = 0 aus!
- Defizite beim "Blick auf Formeln", um Wichtiges von Unwichtigem
zu unterscheiden, und um die Bedeutung von Symbolen zu erkennen
z. B.: Was an der Funktionsdefinition f(p) = exp(
( p p0 )2 / (4σ2))
bedeuten die einzelnen Symbole?
f(p) = exp(
( p p0 )2
/ (4σ2))
- Strukturen in Termen erkennen und mit algebraischen Eigenschaften
verbinden
z. B.: Welche Werte kann
annehmen?
- Graphen zeichnen und interpretieren, Werte ablesen bzw. einzeichnen
z. B.: Wie könnte der Graph von
aussehen? (Zu lösen durch "mathematischen Hausverstand",
nicht durch eine Kurvendiskussion!)
- Mangelndes Gefühl für den Begriff "linear" (z.B.
für die Linearität der Ableitungsoperation oder des Integrals)
- Defizite in Berechnungen mit Hilfe der analytischen Geometrie
z.B.: ebene Wellen
|
→ |
|
→ |
→ |
|
f ( |
x |
, t) = sin(ω
t |
k |
x |
) |
Bestimme die Flächen gleicher Phase!
- Verständnis allgemeiner Beziehungen, z. B. der Leibnizschen
Kettenregel
|
d |
f(x(t),y(t)) = |
∂ f(x(t),y(t)) |
|
dx(t) |
+ |
∂ f(x(t),y(t)) |
|
dy(t) |
|
dt |
∂x |
|
dt |
∂y |
|
dt |
(nachdem sie begründet und ausführlich besprochen wurde)
- Defizite im Umgang mit Integralen
z. B. extreme Schwierigkeiten, aus
eine allgemeine Formel für
(für a > 0) gewinnen.
- Schwierigkeiten, allgemeine Formeln auf Spezialfälle anzuwenden
z. B.
∞ |
|
∫ |
dx ea x2
= (π/a)1/2 |
∞ |
|
ist gegeben,
ist gesucht.
- Schwierigkeiten im Umgang mit Differentialen (infinitesimalen Größen),
z. B. ρ(x) dx
- Schwierigkeiten, mit dem Summensymbol umzugehen
z. B. Was bedeutet
- Unsicherheit beim Anschreiben mathematischer Ausdrücke
z. B.
oder
- Unterstufenfehler: (10 + b)/(5 + c) = (2 + b)/(1 + c) u. ä.
- Ein letztes Beispiel: http://www.mathe-online.at/lernpfade/harmonischeSchwingung/#8
Franz Embacher
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