Aufgabe: Ermitteln Sie die Lösungsmenge im $\mathbb{R}^2$ von
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\begin{eqnarray}
2x +4y &=& 6\\
3x +6y &=& 8
\end{eqnarray}
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$(1)$
$(2)$ |
Berechnung:
- Lösungsmethode 1: Wir wenden die Substitionsmethode an und berechnen $x$ aus (1) zu
Wir setzen dies in (2) ein und erhalten mit $-6y+9+6y=8$ oder, vereinfacht, $9=8$, einen Widerspruch. Sobald ein
Widerspruch auftritt, können wir aufhören, denn in diesem Fall ist die Lösungsmenge leer:
$$L=\{\,\}$$
- Lösungsmethode 2: Wir wenden die Eliminationsmethode an. Um $x$ zu eliminieren, multiplizieren wir beide Seiten von
(1) mit $3$ und beide Seiten von (2) mit $-2$ und erhalten
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\begin{eqnarray}
6x +12y &=& 18\\
-6x -12y &=& -16
\end{eqnarray}
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Addieren wir die beiden Gleichungen, so ergibt sich mit $0=2$ ein Widerspruch. Sobald ein
Widerspruch auftritt, können wir aufhören, denn in diesem Fall ist die Lösungsmenge leer:
$$L=\{\,\}$$
Die beiden angegebenen Lösungsmengen sind natürlich identisch.
Nachbemerkungen:
- Geometrische Interpretation: Jede der Gleichungen (1) und (2) für sich betrachtet besitzt eine Gerade als
Lösungsmenge:
Die beiden Geraden schneiden aber einander nicht!
- Machen Sie sich klar, warum das Auftreten eines Widerspruchs sofort zum Schluss führt, dass die Lösungsmenge leer ist:
Gleichungen und Gleichungssysteme umzuformen bedeutet, anzunehmen, dass es eine Lösung gibt.
Das System (1) – (2) kann so gelesen werden: Seien $x$ und $y$ Zahlen, die
(1) und (2) erfüllen. Wenn daraus gefolgert werden kann, dass $9=8$ oder $0=2$ ist,
muss die Annahme falsch sein!
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