Betrag eines Vektorfeldes


Franz Embacher

Fakultät für Physik der Universität Wien

 
Aufgabe: Berechnen Sie den Betrag des Vektorfeldes (in drei Dimensionen) $\vec{v}(\vec{x})=r^{-2}\vec{x}$ !

Berechnung:
$$|\vec{v}(\vec{x})|=r^{-2}|\vec{x}|=r^{-2}r=r^{-1}\equiv{1\over r}$$ $(1)$
Nachbemerkung: So einfach ist das also! Allerdings nur, wenn Sie keinen halsbrecherischen Umweg nehmen, etwa nach der Art
  1. $\vec{v}(\vec{x})=\left(\begin{array}{c}{x\over x^2+y^2+z^2}\\{y\over x^2+y^2+z^2}\\{z\over x^2+y^2+z^2}\end{array}\right)$
     
  2. $|\vec{v}(\vec{x})|=\sqrt{ \left(x\over x^2+y^2+z^2\right)^2+\left(y\over x^2+y^2+z^2\right)^2+\left(z\over x^2+y^2+z^2\right)^2 }=\sqrt{ {x^2+y^2+z^2\over (x^2+y^2+z^2)^2} }=\sqrt{1\over x^2+y^2+z^2}=\sqrt{1\over r^2}={\large{1\over r}} $
Benutzen Sie bei Rechnungen mit dem Betrag von Vektoren und Vektorfeldern wann immer möglich die folgende Regel: Ist $f$ ein Skalar oder ein Skalarfeld und $\vec{v}$ ein Vektor oder ein Vektorfeld, so gilt
$$|f\,\vec{v}|=|f|\,|\vec{v}|$$ $(2)$
Ist $f\geq 0$, so reduziert sie sich auf
$$|f\,\vec{v}|=f\,|\vec{v}|$$ $(3)$
und genau diese Regel wurde in (1) verwendet (zusammen mit $|\vec{x}|=r$).

Die Regeln (2) und (3) sollten Ihnen geometrisch einsichtig sein:
  • Ist etwa $f=2$, so besagt Regel (3), dass der Betrag des verdoppelten Vektors $2\,\vec{v}$ gleich dem Doppelten des Betrags von $\vec{v}$ ist: $|2\,\vec{v}|=2|\vec{v}|$.
  • Ist $f=-2$, so besagt die allgemeinere Regel (2), dass der Betrag von $-2\,\vec{v}$ ebenfalls gleich dem Doppelten des Betrags von $\vec{v}$ ist: $|-2\,\vec{v}|=|-2|\,|\vec{v}|=2|\vec{v}|$.
Diese Regeln gelten natürlich auch für Felder, da $f(\vec{x})$ für jedes $\vec{x}$ eine Zahl und $\vec{v}(\vec{x})$ für jedes $\vec{x}$ ein Vektor ist.


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