Lösungen und Tipps zu den Aufgaben:
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Aufgabe 1:
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3. Keplersches Gesetz: T²/a³ = 4 pi²/(G M),  G = 6.67*10^(-11) m³/(kg s²)

Grobe Schätzung:
Die schönste Kepler-Ellipse ergibt:
a = 4.5 Lichttage = 1.17*10^14 m und T = 14.8 Jahre = 4.7*10^8 s.
Daher M = 4.3*10^36 kg = 2 Millionen Sonnenmassen (Sonnenmasse = 2*10^30 kg)
Der Schwarzschildradius dieser Masse ist RSchw = 6*10^9 m
Maximaler Radius des Objekts = 5 Lichtminuten = 1.8*10^11 m = 15 RSchw

Eine genauere Betrachtung ergibt: Die Ellipse liegt schief (Lage des Brennpunkts)!
Scheinbare (projizierte) Ellipsengrößen: a‘ = 4.5 Lichttage, b‘ = 2.5 Lichttage, e‘ = 4 Lichttage,
daraus die tatsächliche große Halbachse: a = a‘b‘/Sqrt[a‘^2 - e‘^2] = 5.46 Lichttage.
Daher ist obiges a um den Faktor 1.21, die Masse um den Faktor 1.213^3 = 1.78 zu klein.
Mkorrigiert = 2*1.78 Millionen Sonnenmassen = 3.6 Millionen Sonnenmassen
(innerhalb etwa 10 Schwarzschildradien)!
Siehe auch http://www.mpe.mpg.de/ir/GC/index.php


Aufgabe 2:
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v = Sqrt[G Mleucht/r], mit G = 6.67*10^(-11) m³/(kg s²) 
-> ohne dunkle Materie erwarte außerhalb einen r^(-1/2)-Abfall der Rotationskurve

Mleucht = v² r/G = (150 km/s)²*20 kpc/G = 2*10^41 kg = 10^11 Sonnenmassen (Sonnenmasse = 2*10^30 kg)
v² = konstant = G M(r)/r -> M(r) proportional zu r

Bei konstanter Dichte wäre M(r) proportional zu r³ -> die Dichte muss abnehmen (und zwar wie 1/r²)

Quellen:
http://www.noao.edu/outreach/aop/observers/n3198vickerys.jpg
http://www.pi1.physik.uni-erlangen.de/~kappes/lehre/WS05-VAT/V13/Rotationskurve.jpg