LV-Nr. 250011 UE Analysis 1, Gruppe 2, Fr 8:30-10:00 im HS3 UZA2, (ECTS 4,00)

Am Freitag 25. Juni entfällt die Übung wegen einer Prüfung in Linearer Algebra, die zu dieser Zeit stattfindet.

Das war der Übungstest vom 28. Mai 2010.

Übungsbeispiele finden Sie hier.

(92) Das ist ein Spezialfall von Kronecker's Lemma.

(84) Siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_integral.

(69b) Verwenden Sie die Identität x-1=(xⁿ-1)/(x^n-1+x^n-2+...+1) um die Summanden der Reihe nach unten durch c/n abzuschätzen. Da die harmonische Reihe divergiert, bekommen Sie so eine divergente Minorante für a≠1.

(62) Verwenden Sie den Ansatz n/2ⁿ=A/2ⁿ⁺¹+B/2ⁿ⁺². Sie können das Beispiel auch mit dem folgenden Potenzreihenkalkül lösen: x(Σxⁿ)'=Σnxⁿ.

(61) Es gilt 1/(F_n+2F_n)=1/(F_nF_n+1)-1/(F_n+2F_n+1).

(60) Verwenden Sie Partialbruchzerlegung.

(58) Zunächst ein allgemeine Beobachtung fü Funktionen, die um einen konstanten Wert c pendeln und deren Integral durch diesen Wert nach oben oder nach unten abgeschätzt werden soll. Sei f definiert auf [a,b] und m=(a+b)/2. Wenn f(m-z)+f(m+z)≥2c ist für alle z in [0,(b-a)/2], dann ist das Integral von f über [a,b] größer oder gleich c. Zeigen Sie, dass dies richtig ist, indem Sie die Linearität des Integrals verwenden.

In unserem Fall dividieren Sie am besten erst durch 4, setzen f(x)=(a²cos²(x)+b²sin²(x))^1/2 und [a,b]=[0,π/2].

Bei der nun folgenden Rechnung verwenden Sie cos(π/4+z)=sin(π/4-z) bzw. sin(π/4+z)=cos(π/4-z).

(20) Berechnen Sie die Taylorreiche und analysieren Sie das Restglied.

(16) Leiten Sie auch den Satz über die Ableitungen von Umkehrfunktionen aus der Kettenregel her.

(15) Sie dürfen hier die Formeln für die Ableitungen der inversen Winkelfunktionen verwenden.

(8a) Zeigen Sie, dass diese Identiät nur gilt, wenn |x|<1 ist. Überprüfen Sie erst den Definitionsbereich. Verwenden Sie, dass zwei differentierbare reelle Funktionen übereinstimmen, wenn sie in einem Punkt übereinstimmen und ihre Ableitungen ident sind. Bei den Ableitungen von inversen Winkelfunktionen treten Wurzeln auf. Beachten Sie, dass eine der auftrenden Funktionen in -1 und 1 nicht differnzierbar ist. Das ist die Ursache, warum die beiden Funktionen nur für |x|<1 übereinstimmen. Hier sehen Sie die übereinandergelegten Graphen der beiden Funktionen.

(6) Um cos(36) zu bestimmen, können Sie z.B. erst die Formel für sin(5x) bestimmen, x=36 setzen und aus sin(36) dann cos(36) berechnen. Einen elementaren geometrischen Beweis finden Sie, indem Sie den goldenen Schnitt in der Geometrie des Pentagramms studieren. Für sin(15) und cos(15) verwenden Sie die Formeln für sin(4x) und cos(4x), oder führen Sie einen kurzen geometrischen Beweis, indem Sie einfach den Winkel von 30 Grad im Einheitskreis halbieren. Die Lösbarkeit der auftretenden Polynomgleichungen hängt mit der Konstruierbarkeit der entsprechenden regelmäßigen Vielecke zusammen.

(5) Sie sollen sin(nx) als Polynom in sin(x) und cos(nx) als Polynom in cos(x) ausdrücken. Vergleichen Sie dazu die Tschebyschow-Polynome bzw. Chebyshev polynomials.